Gruppo di ordine 2m (m dispari) non semplice
Mi sono imbattuto in questo esercizio:
Sia $G$ un gruppo finito tale che $|G|=2m$, con $m$ dispari strettamente maggiore di $1$. Provare che $G$ non è semplice.
La prima idea è stata: forse $G$ ha un solo $2$-Sylow? L'idea effettivamente era pessima, infatti basta considerare il gruppo $S_3$, risulta $|S_3|=2\cdot 3$, ma tale gruppo ha tre $2$-Sylow.
Fattorizzo dunque $m=p_1^{\alpha_1}\cdot ... \cdot p_k^{\alpha_k}$ e denoto per ogni $i \in {1,...,k}:\ P_i$ un $p_i$-Sylow (non so stabilire nulla sull'unicità di quest'ultimo), che ovviamente ha ordine $|P_i|=p_i^{\alpha_i}$. L'idea è quella di considerare il prodotto di questi $k$ sottogruppi di Sylow scelti, infatti $|P_1 P_2 ... P_k|=m$ (in quanto l'intersezione di sottogruppi di Sylow relativi a primi distinti è banale), perchè se (e dico: "se") $P_1 P_2 ... P_k$ è un sottogruppo di $G$, allora è normale essendo di indice $2$. Non riesco però a mostrare che quello è effettivamente un sottogruppo, e mi chiedo se la strada scelta sia ancora percorribile...
Sia $G$ un gruppo finito tale che $|G|=2m$, con $m$ dispari strettamente maggiore di $1$. Provare che $G$ non è semplice.
La prima idea è stata: forse $G$ ha un solo $2$-Sylow? L'idea effettivamente era pessima, infatti basta considerare il gruppo $S_3$, risulta $|S_3|=2\cdot 3$, ma tale gruppo ha tre $2$-Sylow.
Fattorizzo dunque $m=p_1^{\alpha_1}\cdot ... \cdot p_k^{\alpha_k}$ e denoto per ogni $i \in {1,...,k}:\ P_i$ un $p_i$-Sylow (non so stabilire nulla sull'unicità di quest'ultimo), che ovviamente ha ordine $|P_i|=p_i^{\alpha_i}$. L'idea è quella di considerare il prodotto di questi $k$ sottogruppi di Sylow scelti, infatti $|P_1 P_2 ... P_k|=m$ (in quanto l'intersezione di sottogruppi di Sylow relativi a primi distinti è banale), perchè se (e dico: "se") $P_1 P_2 ... P_k$ è un sottogruppo di $G$, allora è normale essendo di indice $2$. Non riesco però a mostrare che quello è effettivamente un sottogruppo, e mi chiedo se la strada scelta sia ancora percorribile...
Risposte
Ciao.
Riguardo il tuo procedimento aspetta qualcuno più competente, la via che posso suggerirti sfrutta comunque il fatto (che conosci) che un sottogruppo avente cardinalità metà del gruppo, è normale.
Ecco, proprio a fagiolo, si dimostra che dato [tex]$G$[/tex] con [tex]$|G|=2m$[/tex] con [tex]$m$[/tex] dispari, allora il gruppo ammette un sottogruppo di ordine [tex]$m$[/tex].
La dimostrazione che avevo, che sfruttava il teorema di Cayley, immergeva appunto il gruppo nel gruppo simmetrico.
Ciao, a presto!
Riguardo il tuo procedimento aspetta qualcuno più competente, la via che posso suggerirti sfrutta comunque il fatto (che conosci) che un sottogruppo avente cardinalità metà del gruppo, è normale.
Ecco, proprio a fagiolo, si dimostra che dato [tex]$G$[/tex] con [tex]$|G|=2m$[/tex] con [tex]$m$[/tex] dispari, allora il gruppo ammette un sottogruppo di ordine [tex]$m$[/tex].
La dimostrazione che avevo, che sfruttava il teorema di Cayley, immergeva appunto il gruppo nel gruppo simmetrico.
Ciao, a presto!
Consideriamo l'azione di [tex]G[/tex] per moltiplicazione a sinistra su se stesso. Essa definisce un omomorfismo [tex]\phi[/tex] da [tex]G[/tex] a [tex]S_{2m}\cong S_G[/tex]. Sia quindi [tex]\phi_x[/tex] l'immagine dell'elemento [tex]x[/tex]. Supponiamo che [tex]x[/tex] sia un elemento di ordine [tex]2[/tex], la cui esistenza è garantità dal fatto che [tex]|G|=2m[/tex].
Preso un elemento [tex]g\in G[/tex] allora [tex]\phi_x^2 = e[/tex] e [tex]\phi_x(g) = xg[/tex]. Quindi possiamo scivere [tex]\phi_x[/tex] come prodotto di [tex]m[/tex] trasposizioni nella forma [tex](g,\ xg)[/tex] (il numero è dato dall'ordine del gruppo e dal fatto che nessun elemento è fissato dalla moltiplicazione a sinistra per un elemento diverso dall'identità). Siccome [tex]m[/tex] è dispari allora [tex]\phi_x\notin A_{2m}[/tex] e quindi [tex]A_{2m}\phi(G)=S_{2m}[/tex] e [tex]\phi(G)/(A_{2m}\cap\phi(G)) \cong S_n/A_n \cong \mathbb{Z}_2[/tex]. Se noi consideriamo quindi la composizione di [tex]\phi[/tex] con la proiezione nel quoziente [tex]\phi(G)/(A_{2m}\cap\phi(G))\cong \mathbb{Z}_2[/tex] ricaviamo che [tex]G[/tex] ha un sottogruppo normale di ordine [tex]m[/tex] (o meglio indice [tex]2[/tex]).
Preso un elemento [tex]g\in G[/tex] allora [tex]\phi_x^2 = e[/tex] e [tex]\phi_x(g) = xg[/tex]. Quindi possiamo scivere [tex]\phi_x[/tex] come prodotto di [tex]m[/tex] trasposizioni nella forma [tex](g,\ xg)[/tex] (il numero è dato dall'ordine del gruppo e dal fatto che nessun elemento è fissato dalla moltiplicazione a sinistra per un elemento diverso dall'identità). Siccome [tex]m[/tex] è dispari allora [tex]\phi_x\notin A_{2m}[/tex] e quindi [tex]A_{2m}\phi(G)=S_{2m}[/tex] e [tex]\phi(G)/(A_{2m}\cap\phi(G)) \cong S_n/A_n \cong \mathbb{Z}_2[/tex]. Se noi consideriamo quindi la composizione di [tex]\phi[/tex] con la proiezione nel quoziente [tex]\phi(G)/(A_{2m}\cap\phi(G))\cong \mathbb{Z}_2[/tex] ricaviamo che [tex]G[/tex] ha un sottogruppo normale di ordine [tex]m[/tex] (o meglio indice [tex]2[/tex]).
Grazie per le risposte 
vict85, riguarderò per bene la dimostrazione che hai proposto, ma devo ammettere che non mi sarebbe passata per la testa
Vabbè, devo ancora farci un po' la mano con questi esercizi di Algebra.
In ogni caso il prodotto di sottogruppi di Sylow relativi a primi distinti non è detto che sia un sottogruppo, vero?
vict85, riguarderò per bene la dimostrazione che hai proposto, ma devo ammettere che non mi sarebbe passata per la testa
Vabbè, devo ancora farci un po' la mano con questi esercizi di Algebra.In ogni caso il prodotto di sottogruppi di Sylow relativi a primi distinti non è detto che sia un sottogruppo, vero?
"giaorl":Non solo non è detto, ma può succedere che se è un sottogruppo contiene elementi con ordine diviso da un primo che non è relativo a nessuno dei Sylow considerati. Nel caso specifico, un prodotto di due elementi di ordine p>2 può avere ordine 2, per esempio
In ogni caso il prodotto di sottogruppi di Sylow relativi a primi distinti non è detto che sia un sottogruppo, vero?
(12345)(13245) = (14)(25).
Quindi nel tuo caso il prodotto di tutti i p-Sylow con p dispari può benissimo essere uguale a tutto G.
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