Gruppo di Galois di un campo di spezzamento su un campo di spezzamento
Ciao a tutti, studiando mi sono bloccato su questo esercizio
Posto $alpha=-1/2+isqrt(3)/2$, gli zeri di $f$ sono $root(3)(10)$, $alpharoot(3)(10)$ e $alpha^2root(3)(10)$, notiamo che gli zeri non appartengono ai razionali, inoltre $f$ è di grado $3$ allora $f$ è irriducibile, e anzi separabile poiché $Df!=0$.
Il CRC di $f$ su $QQ$ è allora $F=QQ(alpha,root(3)(10))$ e il suo grado è $[F]=3*2=6$ per il lemma del grado.
Essendo $f$ separabile si ha che $QQ sub F$ è un'estensione di Galois e dunque $[F]=|G|$, dove $G=Gal(F \/QQ)$.
Poiché $G$ è isomorfo a un sottogruppo di $S_3$ e $|G|=|S_3|=6$ deduciamo che $G~=S_3$.
Per quanto riguardo $g=x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$, i suoi zeri sono $1$, $alpha$ e $alpha^2$. Dato che ammette uno zero nei razionali direi che $g$ non è irriducibile sui razionali, anche se i due fattori di cui è prodotto sono irriducibili
su $QQ$.
Il suo CRC su $QQ$ è allora $QQ_3=QQ(alpha)$ e $[QQ_3:QQ]=2$.
Poi c'è il discorso sull'estensione di Galois che però non posso fare finché non capisco se $g$ è irriducibile oppure no.
Ora, non so bene come comportarmi con $H$, so che $|H|$ divide $[F:QQ_3]=3$ dunque $|H|$ può essere solo $1$ oppure $3$.
Che altro si può dire?
Determinare (a meno di isomorfismo) il gruppo di Galois $H = Gal(F \/QQ_3)$, dove $F$ è il CRC (detto anche campo di spezzamento) del polinomio $f = x^3 - 10$ su $QQ$, e dove $QQ_3$ è il CRC del polinomio $g = x^3 - 1$ su $QQ$.
Posto $alpha=-1/2+isqrt(3)/2$, gli zeri di $f$ sono $root(3)(10)$, $alpharoot(3)(10)$ e $alpha^2root(3)(10)$, notiamo che gli zeri non appartengono ai razionali, inoltre $f$ è di grado $3$ allora $f$ è irriducibile, e anzi separabile poiché $Df!=0$.
Il CRC di $f$ su $QQ$ è allora $F=QQ(alpha,root(3)(10))$ e il suo grado è $[F]=3*2=6$ per il lemma del grado.
Essendo $f$ separabile si ha che $QQ sub F$ è un'estensione di Galois e dunque $[F]=|G|$, dove $G=Gal(F \/QQ)$.
Poiché $G$ è isomorfo a un sottogruppo di $S_3$ e $|G|=|S_3|=6$ deduciamo che $G~=S_3$.
Per quanto riguardo $g=x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$, i suoi zeri sono $1$, $alpha$ e $alpha^2$. Dato che ammette uno zero nei razionali direi che $g$ non è irriducibile sui razionali, anche se i due fattori di cui è prodotto sono irriducibili
su $QQ$.Il suo CRC su $QQ$ è allora $QQ_3=QQ(alpha)$ e $[QQ_3:QQ]=2$.
Poi c'è il discorso sull'estensione di Galois che però non posso fare finché non capisco se $g$ è irriducibile oppure no.
Ora, non so bene come comportarmi con $H$, so che $|H|$ divide $[F:QQ_3]=3$ dunque $|H|$ può essere solo $1$ oppure $3$.
Che altro si può dire?
Risposte
Non capisco i tuoi dubbi su $g$. Hai $g = (x-1)(x^2+x+1)$ quindi $g$ è il prodotto di due fattori irriducibili in $QQ[x]$.
La teoria di Galois ti dice che $|H| = |H:1| = [F:QQ_3] = 3$ quindi $H$ ha ordine $3$. Siccome $3$ è primo $H$ è un gruppo ciclico di ordine $3$.
La teoria di Galois ti dice che $|H| = |H:1| = [F:QQ_3] = 3$ quindi $H$ ha ordine $3$. Siccome $3$ è primo $H$ è un gruppo ciclico di ordine $3$.
Grazie della risposta!
Il mio dubbio nasceva dal fatto che avevo letto che un polinomio $f ∈ K[x]$ di grado $deg f ∈ {2, 3}$ è irriducibile Su $K$ se e solo se non ammette zeri su $K$. E il polinomio dell'esercizio ha lo zero $1$ che appartiene a $QQ$, ma il polinomio si può anche scrivere come prodotto di fattori irriducibili, quindi ero in una situazione di stallo.
Ok l'ordine di $H$ è $3$, ma i suoi elementi quali sono ? Abbiamo che $F$ è generato su $QQ_3$ da $root(3)(10)$ quindi direi che la sua immagine tramite l'automorfismo dovrebbe generare tutto $H$, dunque dato che $varphi(root(3)(10))^3=10$ si ha $varphi(root(3)(10)) in {root(3)(10), alpharoot(3)(10), alpha^2root(3)(10)}$ ?
Il mio dubbio nasceva dal fatto che avevo letto che un polinomio $f ∈ K[x]$ di grado $deg f ∈ {2, 3}$ è irriducibile Su $K$ se e solo se non ammette zeri su $K$. E il polinomio dell'esercizio ha lo zero $1$ che appartiene a $QQ$, ma il polinomio si può anche scrivere come prodotto di fattori irriducibili, quindi ero in una situazione di stallo.
Ok l'ordine di $H$ è $3$, ma i suoi elementi quali sono ? Abbiamo che $F$ è generato su $QQ_3$ da $root(3)(10)$ quindi direi che la sua immagine tramite l'automorfismo dovrebbe generare tutto $H$, dunque dato che $varphi(root(3)(10))^3=10$ si ha $varphi(root(3)(10)) in {root(3)(10), alpharoot(3)(10), alpha^2root(3)(10)}$ ?
Ancora non capisco il tuo dubbio su $g$. Il fatto che $g$ non è irriducibile e il fatto che $g$ è il prodotto di due fattori irriducibili non sono in contraddizione.
Un elemento di $H$ deve fissare ogni elemento di $QQ_3$ e mandare [tex]\beta = \sqrt[3]{10}[/tex] in una radice cubica di $10$ (come hai giustamente scritto), cioè [tex]\beta[/tex], $alpha beta$ oppure $alpha^2 beta$. Per esempio l'automorfismo $f$ di $F$ che fissa $QQ_3$ (in particolare fissa $alpha$) e che manda $beta$ in $alpha beta$ è un elemento di $H$. E' facile vedere che $f$ ha ordine $3$. Quindi è un generatore del gruppo ciclico $H$.
Un elemento di $H$ deve fissare ogni elemento di $QQ_3$ e mandare [tex]\beta = \sqrt[3]{10}[/tex] in una radice cubica di $10$ (come hai giustamente scritto), cioè [tex]\beta[/tex], $alpha beta$ oppure $alpha^2 beta$. Per esempio l'automorfismo $f$ di $F$ che fissa $QQ_3$ (in particolare fissa $alpha$) e che manda $beta$ in $alpha beta$ è un elemento di $H$. E' facile vedere che $f$ ha ordine $3$. Quindi è un generatore del gruppo ciclico $H$.
Oddio che confusione, non so perché ho pensato che dato che potevo scrivere $g$ come prodotto di fattori irriducibili allora $g$ era irriducibile, in realtà è proprio per questo che $g$ non è irriducibile.
Ok allora penso sia tutto chiaro per gli elementi di $H$, grazie Martino!
Ok allora penso sia tutto chiaro per gli elementi di $H$, grazie Martino!
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