Gruppo delle permutazioni S3
Sono dubbioso su due esercizi riguardanti il gruppo delle permutazioni $S_3$ dell'Herstein:
a) se $G$ è un gruppo non abeliano di $6$ elementi, dimostra che $G$ è isomorfo a $S_3$ (Per quanto riguarda questo, sono interessato soltanto a sapere se esiste una dimostrazione che non implichi l'utilizzo dei teoremi di Sylow o Cayley).
b) Se $G$ è il gruppo $S_3$, dimostrare che $G$ è isomorfo al gruppo degli automorfismi interni di $G$.
a) se $G$ è un gruppo non abeliano di $6$ elementi, dimostra che $G$ è isomorfo a $S_3$ (Per quanto riguarda questo, sono interessato soltanto a sapere se esiste una dimostrazione che non implichi l'utilizzo dei teoremi di Sylow o Cayley).
b) Se $G$ è il gruppo $S_3$, dimostrare che $G$ è isomorfo al gruppo degli automorfismi interni di $G$.
Risposte
Per (a), il teorema di Lagrange lo puoi usare? Se la risposta è no, dubito che si possa fare molto.
Sì sì certo, infatti pensavo che la soluzione fosse cercare di costruire il gruppo definendolo elemento per elemento, considerando l'ordine dei singoli (che può essere soltanto 2 o 3).
Sicuramente $G$ sarà composto dagli elementi $a$, $b$, $ab$, $ba$ ed $e$ che è l'elemento neutro. Così sono già 5 e me ne servirebbe soltanto un altro, quindi immagino si possa considerare l'ipotesi che l'ordine di uno degli elementi sia 3, diciamo $o(a) = 3$, e in questo modo $a^2$ sarebbe un nuovo elemento, poiché è facile dimostrare che dovrebbe necessariamente essere un elemento diverso dagli altri elencati.
Il gruppo descritto ha di fatto la stessa struttura di $S_3$, ma non capisco se questo sia sufficiente per poter affermare che i due sottogruppi siano isomorfi. Mi basta osservare gli elementi e le proprietà dell'operazione per verificare che due gruppi siano isomorfi?
Sicuramente $G$ sarà composto dagli elementi $a$, $b$, $ab$, $ba$ ed $e$ che è l'elemento neutro. Così sono già 5 e me ne servirebbe soltanto un altro, quindi immagino si possa considerare l'ipotesi che l'ordine di uno degli elementi sia 3, diciamo $o(a) = 3$, e in questo modo $a^2$ sarebbe un nuovo elemento, poiché è facile dimostrare che dovrebbe necessariamente essere un elemento diverso dagli altri elencati.
Il gruppo descritto ha di fatto la stessa struttura di $S_3$, ma non capisco se questo sia sufficiente per poter affermare che i due sottogruppi siano isomorfi. Mi basta osservare gli elementi e le proprietà dell'operazione per verificare che due gruppi siano isomorfi?
Sì se due gruppi hanno la stessa tabella della moltiplicazione (nel senso che esiste una biiezione insiemistica che manda una tabella nell'altra) allora sono isomorfi.
Non puoi supporre che uno dei due elementi abbia ordine $3$. D'altra parte puoi dimostrare che non può essere $x^2=1$ per ogni $x in G$, risolvendo il seguente esercizio.
Esercizio. Se $G$ è un gruppo tale che $x^2=1$ per ogni $x in G$ allora $G$ è abeliano.
Non puoi supporre che uno dei due elementi abbia ordine $3$. D'altra parte puoi dimostrare che non può essere $x^2=1$ per ogni $x in G$, risolvendo il seguente esercizio.
Esercizio. Se $G$ è un gruppo tale che $x^2=1$ per ogni $x in G$ allora $G$ è abeliano.
Grazie per la dritta, ora ha più senso. Studiando in autonomia mi capita di dare per scontato qualche passaggio logico a volte :'(
Per quanto riguarda (b) invece come devo ragionare?
Per quanto riguarda (b) invece come devo ragionare?
Per (b), chiama $A$ il gruppo (con la composizione) degli automorfismi interni di $G$. Esiste una mappa naturale $G to A$ (quale?). Dimostra che è un isomorfismo.
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