Gruppo delle permutazioni
Salve a tutti, sono alle prese con il capitolo finale del mio programma di teoria dei gruppi le Permutazioni.
Ho studiato la teoria ma all'atto pratico mi viene difficile risolvere gli esercizi, pertanto vorrei cominciare a risolverne uno con il vostro aiuto in modo tale da fissare certi aspetti di teoria.
Esercizio:
Nel gruppo simmetrico $S_7$ su $X = {1,2,3,4,5,6,7}$ si considerino i due elementi
$a = ((1,2,3,4,5,6,7),(6,2,5,4,3,1,7))$ e $b = ((1,2,3,4,5,6,7),(1,4,7,2,3,6,5))$
1) Trovare la decomposizione in cicli disgiunti di $a,b$, determinandone il rispettivo ordine.
2) Dopo aver verificato che $ba = ab^5$, verificare che il sottogruppo $H$ di $S_7$ generato da $a,b$ è isomorfo al gruppo diedrale $D_6$.
Ho così argomentato:
La decomposizione in cicli disgiunti è per $a = (16)(35)$ per $b =(2,4)(3,7,5)$ , e che l'ordine di $a$ è $mcm (2,2)=2$ e per $b$ è $mcm(3,2)=6$ Inutile
dire che non sono affatto sicuro di ciò che ho scritto
Per il punto 2 invece dopo infiniti calcoli e molta fortuna ho appurato che $ba =((1,2,3,4,5,6,7),(6,4,7,2,5,1,3))$ e $ab^5 = ((1,2,3,4,5,6,7),(6,4,7,2,5,1,3))$,
e quindi $ba = ab^5$. Per quanto riguarda l'isomorfismo tra $S_7$ e $D_6$ si nota che se consideriamo $a$ le riflessioni tali che $a^2 =1$ e $b$ le
rotazioni tali che $b^6 =1$ allora nel gruppo diedrale si ha che $ba = ab^5$ pertanto esiste una biezione tra gli elementi del gruppo simmetrico $S_7$ e il
gruppo diedrale $D_6$ quindi i due gruppi sono isomorfi.
Non mi torna una cosa però: se l'ordine del gruppo $S_7$ è dato da $7!$ mentre l'ordine del gruppo diedrale è se non ricordo male $2*6 = 12$ come possono
essere isomorfi?
Grazie in anticipo.
Ho studiato la teoria ma all'atto pratico mi viene difficile risolvere gli esercizi, pertanto vorrei cominciare a risolverne uno con il vostro aiuto in modo tale da fissare certi aspetti di teoria.
Esercizio:
Nel gruppo simmetrico $S_7$ su $X = {1,2,3,4,5,6,7}$ si considerino i due elementi
$a = ((1,2,3,4,5,6,7),(6,2,5,4,3,1,7))$ e $b = ((1,2,3,4,5,6,7),(1,4,7,2,3,6,5))$
1) Trovare la decomposizione in cicli disgiunti di $a,b$, determinandone il rispettivo ordine.
2) Dopo aver verificato che $ba = ab^5$, verificare che il sottogruppo $H$ di $S_7$ generato da $a,b$ è isomorfo al gruppo diedrale $D_6$.
Ho così argomentato:
La decomposizione in cicli disgiunti è per $a = (16)(35)$ per $b =(2,4)(3,7,5)$ , e che l'ordine di $a$ è $mcm (2,2)=2$ e per $b$ è $mcm(3,2)=6$ Inutile
dire che non sono affatto sicuro di ciò che ho scritto
Per il punto 2 invece dopo infiniti calcoli e molta fortuna ho appurato che $ba =((1,2,3,4,5,6,7),(6,4,7,2,5,1,3))$ e $ab^5 = ((1,2,3,4,5,6,7),(6,4,7,2,5,1,3))$,
e quindi $ba = ab^5$. Per quanto riguarda l'isomorfismo tra $S_7$ e $D_6$ si nota che se consideriamo $a$ le riflessioni tali che $a^2 =1$ e $b$ le
rotazioni tali che $b^6 =1$ allora nel gruppo diedrale si ha che $ba = ab^5$ pertanto esiste una biezione tra gli elementi del gruppo simmetrico $S_7$ e il
gruppo diedrale $D_6$ quindi i due gruppi sono isomorfi.
Non mi torna una cosa però: se l'ordine del gruppo $S_7$ è dato da $7!$ mentre l'ordine del gruppo diedrale è se non ricordo male $2*6 = 12$ come possono
essere isomorfi?
Grazie in anticipo.
Risposte
Mi sembra giusto (anche se per l'isomorfismo avrei usato altri argomenti che magari non conosci ancora!).
Quanto alla tua domanda in realtà non ti si chiede che $S_7$ sia isomorfo al gruppo diedrale, ma che lo sia il sottogruppo generato da $a,b$ che ha esattamente ordine $12$ (non potrebbe essere altrimenti d'altronde!).
Prova magari a scrivere per esteso questo gruppo così ti rendi conto tu stesso di questo fatto.
Quanto alla tua domanda in realtà non ti si chiede che $S_7$ sia isomorfo al gruppo diedrale, ma che lo sia il sottogruppo generato da $a,b$ che ha esattamente ordine $12$ (non potrebbe essere altrimenti d'altronde!).
Prova magari a scrivere per esteso questo gruppo così ti rendi conto tu stesso di questo fatto.
"mistake89":
Mi sembra giusto (anche se per l'isomorfismo avrei usato altri argomenti che magari non conosci ancora!).
Quanto alla tua domanda in realtà non ti si chiede che $S_7$ sia isomorfo al gruppo diedrale, ma che lo sia il sottogruppo generato da $a,b$ che ha esattamente ordine $12$ (non potrebbe essere altrimenti d'altronde!).
Prova magari a scrivere per esteso questo gruppo così ti rendi conto tu stesso di questo fatto.
L'esercizio prosegue con altri quesiti
Considerata l'usuale azione $H$ su $X(s*x = s(x))$
3) Determinare tutte le sue orbite;
4) Determinare gli stabilizzatori di tutti gli elementi di $X$
Ho studiato la teoria ma praticamente no so da dove cominciare.
Cosnigli?
"emanuele78":
[quote="mistake89"]Mi sembra giusto (anche se per l'isomorfismo avrei usato altri argomenti che magari non conosci ancora!).
Quanto alla tua domanda in realtà non ti si chiede che $S_7$ sia isomorfo al gruppo diedrale, ma che lo sia il sottogruppo generato da $a,b$ che ha esattamente ordine $12$ (non potrebbe essere altrimenti d'altronde!).
Prova magari a scrivere per esteso questo gruppo così ti rendi conto tu stesso di questo fatto.
L'esercizio prosegue con altri quesiti
Considerata l'usuale azione $H$ su $X(s*x = s(x))$
3) Determinare tutte le sue orbite;
4) Determinare gli stabilizzatori di tutti gli elementi di $X$
Ho studiato la teoria ma praticamente no so da dove cominciare.
Cosnigli?
[/quote]Rispetto al problema della determinazione delle orbite, rileggendo bene la teoria l'orbita è definita come l'insieme $B(x)$ $=$ $gx :g in G$. Tale insieme è detto orbita di $x$ sotto l'azione di $G$. In particolare è una classe di equivalenza degli elementi di $G$ tali che $y = gx, G$
In tal caso ritornando all'esercizio allora noto come l'elemento $((1,2,3,4,5,6,7),(6,4,7,2,5,1,3))$ $in X$ è il risultato di un elemento di $X$ $a$ per un elemento di $H$ $b^5$, la quinta rotazione del gruppo diedrale $D_12$ oppure è il risultato di $b*a$ anche in questo caso entrambi appartenti a $H$ e quindi a $X$ di cui $H$ è un sottogruppo.
Posso dire che in $X$ esistono due elementi $y$ e $x$ che hanno uguali orbite e che queste sono uguali a $ba, ab^5$?
L'elemento $ba = ab^5$ ha la seguente permutazione espressa in cicli disgiunti $(16)(24)(37) =((24)(375))((16)(35))=((16)(35))((24)(357))$ quindi può oscillare tra le due permutazioni che a dovrebbero rappresentare l'orbita dell'elemento $ba=ab^5$.
Non sono affatto sicuro
Mmm considera che le orbite partizionano $X$. Purtroppo non sono ahimè molto ferrato sulle azioni di un gruppo quindi non so quanto il mio aiuto possa essere utile 
Considera che fai agire una permutazione (in quanto possiamo immaginare $D_4$ immerso in $S_7$ proprio attraverso $H$) su un insieme significa vedere dove questi "numeri" vengono mandati.
Ad esempio l'azione di $(1,3)$ su $1$ manda $1$ in $3$ e l'azione di $(1,3)$ su $3$ manda $3$ in $1$. Quindi l'orbita sotto questa azione è proprio $1,3$. Mentre lo stabilizzatore di un elemento è dato da tutte le permutazioni che non muovono questo elemento.
Ora nel tuo caso si tratta di calcolare $hx$ con $h$ variabile in $H$ e vedere dove porta i vari elementi dell'insieme.
Spero di averti aiutato un po', purtroppo, dato che ho affrontato i gruppi solo in un corso ordinario di algebra2, non c'è stato modo di approfondire questo argomento (importante!).
Considera che fai agire una permutazione (in quanto possiamo immaginare $D_4$ immerso in $S_7$ proprio attraverso $H$) su un insieme significa vedere dove questi "numeri" vengono mandati.
Ad esempio l'azione di $(1,3)$ su $1$ manda $1$ in $3$ e l'azione di $(1,3)$ su $3$ manda $3$ in $1$. Quindi l'orbita sotto questa azione è proprio $1,3$. Mentre lo stabilizzatore di un elemento è dato da tutte le permutazioni che non muovono questo elemento.
Ora nel tuo caso si tratta di calcolare $hx$ con $h$ variabile in $H$ e vedere dove porta i vari elementi dell'insieme.
Spero di averti aiutato un po', purtroppo, dato che ho affrontato i gruppi solo in un corso ordinario di algebra2, non c'è stato modo di approfondire questo argomento (importante!).
"mistake89":
Mmm considera che le orbite partizionano $X$. Purtroppo non sono ahimè molto ferrato sulle azioni di un gruppo quindi non so quanto il mio aiuto possa essere utile
Considera che fai agire una permutazione (in quanto possiamo immaginare $D_4$ immerso in $S_7$ proprio attraverso $H$) su un insieme significa vedere dove questi "numeri" vengono mandati.
Ad esempio l'azione di $(1,3)$ su $1$ manda $1$ in $3$ e l'azione di $(1,3)$ su $3$ manda $3$ in $1$. Quindi l'orbita sotto questa azione è proprio $1,3$. Mentre lo stabilizzatore di un elemento è dato da tutte le permutazioni che non muovono questo elemento.
Ora nel tuo caso si tratta di calcolare $hx$ con $h$ variabile in $H$ e vedere dove porta i vari elementi dell'insieme.
Spero di averti aiutato un po', purtroppo, dato che ho affrontato i gruppi solo in un corso ordinario di algebra2, non c'è stato modo di approfondire questo argomento (importante!).
Ti ringrazio del tuo aiuto, vediamo se integrato a quanto da me appreso può darci la soluzione.
Allora il fatto che si chiamino orbite, in base a quanto da me studiato, deriva dal fatto che certi elementi attraverso l'azione di un gruppo possono ruotare attorno ad una serie di possibilità, e quindi in base all'azione del gruppo sull'insieme assumere certi valori.
Per esempio se consideriamo un'esagono e quindi come insieme i vertici in cui è composto e come azione il gruppo delle rotazini, otteniamo che ciascun vertice ha come orbita l'intero numero dei vertici, infatti attraverso l'azione di rotazione il punto $P1$ può assumere tutti i valori dei vertici dell'esagono sino ad arrivare a $P1$.
Nel caso delle permutazioni, per esempio di un insieme $X$ con $7$ elementi, l'azione è data da $\sigma$ cioè dai cicli disgiunti compresi l'identità da cui trae origine la permutazione, pertanto consideriamo per esempio l'elemento $a$ del nostro esempio, assume i seguenti valori $((1234567),(6254317))$
e i cicli in cui è composto sono $(16)(2)(35)(4)(7)$, ogni suo ciclo-permutazione, se non ho capito male, è un'orbita, con $Orb(2)=Orb(4)=Orb(7)=id$ ed anche $\sigma_1(16)$ e $\sigma_5(35)$ sono orbite, e quindi $\sigma = \sigma_1*\sigma_5$
Allora se così stanno le cose per risolvere il quesito proposto, dovrei dapprima calcolare tutti gli elementi del sottogruppo $H$ di $X_7$, quindi l'azione del ciclo per suddividere in cicli disgiunti ogni singolo elemento di $H$ ed infine elencare tutte le singole orbite calcolate come ogni singolo ciclo che compone l'elemento.
Dovrebbe essere così, ma ho ancora grosse dosi di incertezza.
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