Gruppo delle permutazioni

[Alin2]

Leggendo

More abstractly, if we are given any set X (not necessarily the set of vertices of a square),
then the set Sym(X) of all permutations of X is a group under composition, and the
subgroup Alt(X) of even permutations of X is a group under composition. If we list the
elements of X in a definite order, say as X = {x1, . . . , xn}, then we can think about Sym(X)
as Sn and Alt(X) as An, but a listing in a different order leads to different identifications
of Sym(X) with Sn and Alt(X) with An.
The “abstract” symmetric groups Sym(X) really do arise naturally
Allora mi chiedo: come devo fare per capire quando $Sym(X) = S_n$ e
Alt (X) =$A_n$
Grazie

[Studente Anonimo]

Ti consiglio di fare questo esercizio:

Sia $f:X to Y$ una funzione biiettiva tra due insiemi. Mostrare che i due gruppi $Sym(X)$ e $Sym(Y)$ sono isomorfi, costruendo un isomorfismo esplicitamente.

E' un esercizio semplicissimo che ti dovrebbe chiarire il fatto che quando prendi un gruppo simmetrico (o alterno) non è così importante come chiami gli elementi, l'importante è sapere "quanti sono" (cioè la classe di equipotenza). Nel senso che se sostituisci l'insieme $X$ con un insieme a lui equipotente (cioè un insieme $Y$ tale che esiste una biiezione $X to Y$) allora il gruppo simmetrico $Sym(Y)$ sarà isomorfo (e quindi non necessariamente uguale!) a $Sym(X)$.

Due gruppi isomorfi sono "lo stesso gruppo" a meno di rinominare i loro elementi.

[otta96]

[ot]@Martino Il testo parla di un insieme generico (ma poi di capisce in realtà che sta pensando a uno finito) e io mi sono chiesto: ma come si definisce il gruppo alterno su un insieme infinito? È una cosa interessante?[/ot]

[luca691]

Metto in spoiler il mio tentativo di soluzione dell'esercizio proposto da Martino.

$X, Y$ insiemi; $f: X \rightarrow Y$ biiezione. Definisco la funzione:

\begin{alignat*}{2}
\varphi^{(f)}:\operatorname{Sym}(X)&\longrightarrow& \operatorname{Sym}(Y)\\
\sigma&\longmapsto& \varphi_\sigma^{(f)}:Y&\longrightarrow Y \\
&&y&\longmapsto \varphi_\sigma^{(f)}(y):=(f\sigma f^{-1})(y)
\end{alignat*}

La funzione $ \varphi_\sigma^{(f)}:=f\sigma f^{-1}$ è effettivamente una biiezione su $Y$, in quanto composizione di una biiezione di $Y$ in $X$ ($f^{-1}$), di una biiezione su $X$ ($\sigma$) e di una biiezione di $X$ in $Y$ ($f$).

Poi, $\varphi_{\sigma\tau}^{(f)}=f\sigma\tau f^{-1}=f\sigma \iota_X\tau f^{-1}=f\sigma (f^{-1}f)\tau f^{-1}=(f\sigma f^{-1})(f\tau f^{-1})=\varphi_\sigma^{(f)}\varphi_\tau^{(f)}$, per cui $\varphi^{(f)}$ è omomorfismo di gruppi. Inoltre, $\varphi_\sigma^{(f)}=\varphi_\tau^{(f)} \Rightarrow f(\sigma(f^{-1}(y)))=f(\tau(f^{-1}(y))), \forall y \in Y \Rightarrow$ $\sigma(f^{-1}(y))=\tau(f^{-1}(y)), \forall y \in Y \Rightarrow$ $\sigma(x)=\tau(x), \forall x \in X \Rightarrow \sigma=\tau$, per cui $\varphi^{(f)}$ è iniettiva. Infine, $\forall \alpha \in Sym(Y)$, risulta $\alpha=\varphi_{f^{-1}\alpha f}^{(f)}$, per cui $\varphi^{(f)}$ è anche suriettiva e quindi, in definitiva, isomorfismo di gruppi: $\Sym(X) \cong Sym(Y)$.

In particolare, per ogni insieme $X$ di cardinalità $n \in \mathbb{N}$, risulta $\Sym(X) \cong S_n$.

[Alin2]

Provo a fare un esempio:
consideriamo $X= (a,b,c,d}$ e $Y={1,2,3,4}$ i due insiemi sono equipotenti ma non uguali..
Se $f: X rarr Y$ é una funzione biettiva allora
$Sym(X)=D_3$ ( symmetry of a triangle) e $Sym(Y)=S_3$ sono isomorfi.
Infatti si puó verificare che l’applicazione
$θ : Sym(X) → Sym(Y ) $che
manda $ϕ $ in $f ◦ ϕ ◦ f^(-1) $`e un isomorfismo di gruppi.

Quindi i due insiemi non sono uguali ma isomorfi

[luca691]

Perché $Sym(X)=D_3$? Inoltre, semmai, $Sym(Y)=S_4$ (per definizione). L'unica cosa che l'esercizio dice è che $Sym(X)\cong Sym(Y)$ perché entrambi ($X$ e $Y$) hanno 4 elementi.

Nell'ultima frase, a quali insiemi ti riferisci (insiemi che devono essere gruppi, se sono "isomorfi")?

[Alin2]

Distrazione, hanno 3 elementi. Mi riferisco ai due gruppi.

Una cosa banale, ma per me importante per uscire dall'astrazione: se considero i due insiemi di prima $X ={a,b,c}$ é $Y{1,2,3}$ ed
$f: X rarr Y$ biezione
"Mi puoi fare un esempio pratico di funzione biettiva da $X rarrY$

Secondo: l’applicazione 
$θ:Sym(X)→Sym(Y)$ dove
$Sym(X) =$ gruppo diedrale di ordine $6$ e $Sym(Y)={id, (1,2),(1,3),(2,3,(1,2,3), (1,3,2} $ che
manda$ ϕ$ in $f◦ϕ◦f^(-1)`$e un isomorfismo di gruppi.
Anche qui vorrei un esempio pratico: ho un dubbio sul fatto che
$θ(ϕ) = f ◦ ϕ ◦ f^(-1)$ ha $Y $ come dominio e come codominio

[vict85]

"otta96":[ot]@Martino Il testo parla di un insieme generico (ma poi di capisce in realtà che sta pensando a uno finito) e io mi sono chiesto: ma come si definisce il gruppo alterno su un insieme infinito? È una cosa interessante?[/ot]

Il gruppo alterno su un insieme infinito è definito in modo simile ma non è più su tutte le permutazioni ma solo su quelle di ordine finito.

[Studente Anonimo]

"otta96":come si definisce il gruppo alterno su un insieme infinito? È una cosa interessante?

Il gruppo alterno infinito è definito come il gruppo delle permutazioni pari a supporto finito (cioè che muovono solo un numero finito di punti). La definizione di permutazione pari è quella ovvia se il supporto è finito. Si tratta di un gruppo semplice ed è un sottogruppo normale del gruppo delle permutazioni a supporto finito.

[luca691]

Ad esempio,

$$f(a)=3 \quad f(b)=1 \quad f(c)=2$$

è una biiezione di $X$ in $Y$, perchè -per costruzione- ogni elemento di $Y$ è immagine di uno ed un solo elemento di $X$. Allo stesso modo, ne puoi costruire altre cinque.

Circa $D_3$ e i gruppi simmetrici, poi, cose generali che si possono dire sono: $D_3 \cong H \le S_6$ (Teorema di Cayley), $Sym(D_3) \cong Sym(S_3)$ (è l'esercizio di Martino: $D_3$ e $S_3$ sono, in particolare, insiemi di 6 elementi ciascuno). Però, non credo che $D_3 \cong S_3$ (che è vero) si dimostri così: in realtà, lo stai assumendo quando dici:

"Alin":Sym(X)= gruppo diedrale

Il gruppo diedrale di ordine $6$ ha una sua definizione, e se vuoi dimostrare che è isomorfo a qualcos'altro devi costruire un isomorfismo tra lui e l'altro, che è altra cosa dal costruire un isomorfismo tra i rispettivi gruppi simmetrici (v. esercizio).

Tieni presente, però, che sono un apprendista assoluto, quindi aspetta che i tuoi dubbi vengano chiariti da chi ne sa più di me.

[Alin2]

Luca69 intanto grazie, ma
Il gruppo diedrale non é un gruppo simmetrico? 
Poi quando dici: se vuoi dimostrare che è isomorfo a qualcos'altro devi costruire un isomorfismo tra lui e l'altro, che è altra cosa dal costruire un isomorfismo tra i rispettivi gruppi simmetrici ( Il $Sym(X)$ non puó essere un gruppo diedrale o un $S_n$
Sembra quasi che i gruppi diedrali che spesso sono sottogruppi di $S_n$ siano cose diverse dai gruppi simmetrici.

[luca691]

"Alin":Il gruppo diedrale non é un gruppo simmetrico?

Esiste un gruppo diedrale per ogni ordine pari, mentre i gruppi simmetrici sono solo di ordine $n!$. Quindi esistono gruppi diedrali che non possono essere isomorfi ad alcun gruppo simmetrico (ad esempio, $D_4$ ha ordine $8$, ma non esiste alcun gruppo simmetrico di ordine $8$). Forse per "gruppo simmetrico" intendiamo cose diverse?

[Alin2]

Io per gruppo simmetrico inteso come $S_n$ intendo il gruppo delle permutazioni,
Per cui quando parlo di gruppo diedrale intendo un gruppo che permuta i vertici.
Quindi capita che $S_n$ é isomorfo al gruppo $D_n$ come per esempio $S_3$ é chiaramente isomorfo al gruppo diedrale di $6$ elementi.
Poi per chiarirmi mi puoi fare tu un esempio pratico di chi puó essere per te $Sym(X)$ e $ Sym(Y)$

[Studente Anonimo]

Un inciso: $S_n$ è isomorfo a $D_n$ se e solo se $n=3$ (facile esercizio: basta confrontare gli ordini).

[luca691]

Inciso nell'inciso: ragionando sul solo ordine, però, non si può escludere che $D_n \cong S_m$ per qualche $n>3$ e un opportuno $m$. Ad esempio, non si può escludere che $D_12 \cong S_4$, poiché entrambi hanno ordine $24$. Immagino che intervenga altro a prevenire ciò, per cui davvero l'unico isomorfismo tra un gruppo diedrale e un gruppo simmetrico è il caso $n=m=3$. O no?

[luca691]

@Alin, $Sym(X)$ è il gruppo (operazione=composizione) delle biiezioni sull'insieme $X$. Ad esempio, se $X=\{a,b\}$, vi sono solo due biiezioni di $X$ in se stesso: $\sigma$, definita da $\sigma(a)=a$ e $\sigma(b)=b$, e $\tau$, definita da $\tau(a)=b$ e $\tau(b)=a$: quindi $Sym(X)=\{\sigma,\tau\}$. Prendi ora $Y=\{1,2\}$; allora $Sym(Y)=\{\alpha,\beta\}$, dove $\alpha$ è definita da $\alpha(1)=1$ e $\alpha(2)=2$, e $\beta$ da $\beta(1)=2$ e $\beta(2)=1$. Infine, chiama $f$ la biiezione di $X$ in $Y$ definita da $f(a)=1$ e $f(b)=2$. Ora prova a vedere come i passaggi dell'esercizio si concretizzano con questi due insiemi e la $f$, per concludere che $Sym(X) \cong Sym(Y)$. Nota infine che $Sym(Y)=Sym(\{1,2\})=S_2$, per cui $Sym(X) \cong S_2$.

[Studente Anonimo]

"luca69":Immagino che intervenga altro a prevenire ciò, per cui davvero l'unico isomorfismo tra un gruppo diedrale e un gruppo simmetrico è il caso $n=m=3$. O no?

Corretto, ma per dimostrarlo serve fare un conto oppure usare dei cannoni. Il cannone in questo caso sarebbe che $S_n$ è un gruppo non risolubile per $n ge 5$ mentre $D_n$ è risolubile (ha un sottogruppo normale ciclico di indice $2$), e fare il caso $n=4$ a mano.

Un possibile argomento elementare sarebbe il seguente. Supponiamo $S_n$ diedrale, allora contiene un sottogruppo normale ciclico $N$ di indice $2$, da cui $|N|=(n!)/2$ e $N$ è ciclico generato da un elemento $x$. L'elemento $(123)$ di $S_n$ non è una potenza di $x$ perché altrimenti nella struttura ciclica di $x$ ci sarebbe un $3$-ciclo e altri cicli tutti di lunghezza pari non multipla di $3$, ma allora $9$ non divide l'ordine di $x$, che è $(n!)/2$, quindi $n$ è minore di $6$ e i casi $1,2,3,4,5$ si fanno a mano. Ma allora $(123)$ non appartiene a $N$. Questo contraddice il fatto che $N$ ha indice $2$ perché chiamato $H$ il sottogruppo generato da $(123)$ abbiamo $HN=S_n$ (infatti $N$ è normale di indice $2$ e non contiene $H$), d'altra parte $H nn N = 1$ ($H$ ha ordine primo) quindi $(n!)=|S_n|=|HN|=|H||N|=((n!)/2)3$ contraddizione.

[Alin2]

@luca69 Intanto grazie per la chiarezza!
$Sym(X)$ è il gruppo (operazione=composizione) delle biiezioni sull'insieme $X$. Ad esempio, se $X=\{a,b\}$, vi sono solo due biiezioni di $X$ in se stesso: $\sigma$, definita da $\sigma(a)=a$ e $\sigma(b)=b$, e $\tau$, definita da $\tau(a)=b$ e $\tau(b)=a$: quindi $Sym(X)=\{\sigma,\tau\}$. Prendi ora $Y=\{1,2\}$; allora $Sym(Y)=\{\alpha,\beta\}$, dove $\alpha$ è definita da $\alpha(1)=1$ e $\alpha(2)=2$, e $\beta$ da $\beta(1)=2$ e $\beta(2)=1$. Infine, chiama $f$ la biiezione di $X$ in $Y$ definita da $f(a)=1$ e $f(b)=2$. Ora prova a vedere come i passaggi dell'esercizio si concretizzano con questi due insiemi e la $f$, per concludere che $Sym(X) \cong Sym(Y)$. Nota infine che $Sym(Y)=Sym(\{1,2\})=S_2$, per cui $Sym(X) \cong S_2$.

Un dubbio: l’applicazione $θ : Sym(X) → Sym(Y ) $che
manda $ϕ$ in $f ◦ ϕ ◦ f^(-1) $`e un isomorfismo di gruppo (Tu l'hai giá dimostrato!)
Ora io noto che se $f$ é definita, uso il tuo esempio, ma poteva essere un'altro,, da da $f(a)=1$ e $f(b)=2$ é $ϕ in Sym(X)$ é una biezione qualsiasi per esempio $\phi(a)=b$ e $\phi(b)=a$: allora θ(ϕ) =$ f ◦ ϕ ◦ f^(-1)$ ha $Y$ come dominio e come codominio. Giusto? Questo per sottolineare che $Sym(X) \cong Sim(Y)$

[luca691]

Sì, giusto. Se leggi la composizione come "dopo" aiuta: "$f\phi f^{-1}$" diventa "$f$ dopo $\phi$ dopo $f^{-1}$"; quindi $f^{-1}$ innanzitutto (che prende da $Y$) e $f$ dopo tutto (che manda in $Y$), quindi da $Y$ in $Y$:
$$Y \stackrel{f^{-1}}{\longrightarrow} X \stackrel{\phi}{\longrightarrow} X \stackrel{f}{\longrightarrow} Y$$