Gruppo dei quaternioni
Mi chiedevo come mai i sottogruppi del gruppo dei quaternioni $Q_8$ sono tutti normali, ponendosi più in astratto, se consideriamo un gruppo $G$ ed indichiamo con $nnH_i$ il sottogruppo intersezione di tutti i sottogruppi di $G$,se comunque presi due generici sottogruppi di $G$, $X$, ed $Y$, e due generici elementi $x$$inX$ ed $yinY$, si ha che l'elemento della forma $xyx^-1y^-1in$ $nnH_i$,ciò implica che $xyx^-1inY$, ed $yx^-1y^-1inX$, deduco pertanto che certamente i sottogruppi di $G$ sono tutti normali in $G$. Adesso ritornando al gruppo dei quaternioni se $X$ ed $Y$ sono due generici sottogruppi di $Q_8$ , e sia $x$ $inX$, ed $yinY$, si ha $xy(y^-1x^-1)=1$, scambiando l'ordine del prodotto
$y^-1x^-1$, si ottiene un cambiamento di segno cioè $xy(x^-1y^-1)=-1$, ma $nnH_i=<-1>$, quindi tutti i sottogruppi risultano essere normali in $Q_8$, da qualche parte avevo letto che il gruppo dei quaternioni è il più piccolo gruppo non abeliano avente tutti i suoi sottogruppi normali, e che il motivo per cui i suoi sottogruppi sono normali risiede nel fatto
che l'intersezione dei suoi sottogruppi é diversa dall'elemento neutro, la prima affermazione mi é apparsa subito vera, mentre sulla seconda nutro dei dubbi,in quanto in base al ragionamento che ho postato il motivo sembrerebbe risiedere nel fatto che il sottogruppo $nnH_i$ in $Q_8$ contiene lelemento $-1$ se c'è qualcuno che può aiutarmi a chiarire le idee, lo ringrazio anticipatamente.
Saluti!
$y^-1x^-1$, si ottiene un cambiamento di segno cioè $xy(x^-1y^-1)=-1$, ma $nnH_i=<-1>$, quindi tutti i sottogruppi risultano essere normali in $Q_8$, da qualche parte avevo letto che il gruppo dei quaternioni è il più piccolo gruppo non abeliano avente tutti i suoi sottogruppi normali, e che il motivo per cui i suoi sottogruppi sono normali risiede nel fatto
che l'intersezione dei suoi sottogruppi é diversa dall'elemento neutro, la prima affermazione mi é apparsa subito vera, mentre sulla seconda nutro dei dubbi,in quanto in base al ragionamento che ho postato il motivo sembrerebbe risiedere nel fatto che il sottogruppo $nnH_i$ in $Q_8$ contiene lelemento $-1$ se c'è qualcuno che può aiutarmi a chiarire le idee, lo ringrazio anticipatamente.
Saluti!
Risposte
Resto in attesa di una risposta.
Non ho ben capito esattamente quali sono i tuoi dubbi, comunque ti dico alcune cose che penso possano esserti utili.
Un gruppo ogni cui sottogruppo è normale si dice gruppo di Dedekind. Un gruppo di Dedekind non abeliano si dice gruppo Hamiltoniano. I gruppi Hamiltoniani sono stati classificati, e si è scoperto che sono del tipo [tex]Q_8 \times P[/tex] dove [tex]P[/tex] è un gruppo abeliano periodico (cioè ogni cui elemento ha ordine finito) senza elementi di ordine 4 (sto leggendo qui). Vedi anche qui (wiki).
Consideriamo invece un gruppo [tex]G[/tex] con la seguente proprietà:
(*) "l'intersezione dei suoi sottogruppi non banali è non banale".
Il teorema di Cauchy implica con immediatezza che un tale [tex]G[/tex] dev'essere un [tex]p[/tex]-gruppo (anche infinito) con un unico sottogruppo di ordine [tex]p[/tex], e come vedi da qui se [tex]G[/tex] è finito allora risulta essere o ciclico o un "quaternione generalizzato" con [tex]p=2[/tex]. Sul caso infinito non mi esprimo, anche se dubito che possa occorrere.
Mi pare di poter interpretare la tua domanda così: "è vero che ogni gruppo con la proprietà (*) è un gruppo di Dedekind?". La risposta è no: la classificazione dei gruppi Hamiltoniani implica che l'unico gruppo Hamiltoniano con la proprietà (*) è [tex]Q_8[/tex]. Infatti se [tex]G=Q_8 \times P[/tex] allora [tex](Q_8 \times \{1\}) \cap (\{1\} \times P) = \{1\}[/tex].
Un gruppo ogni cui sottogruppo è normale si dice gruppo di Dedekind. Un gruppo di Dedekind non abeliano si dice gruppo Hamiltoniano. I gruppi Hamiltoniani sono stati classificati, e si è scoperto che sono del tipo [tex]Q_8 \times P[/tex] dove [tex]P[/tex] è un gruppo abeliano periodico (cioè ogni cui elemento ha ordine finito) senza elementi di ordine 4 (sto leggendo qui). Vedi anche qui (wiki).
Consideriamo invece un gruppo [tex]G[/tex] con la seguente proprietà:
(*) "l'intersezione dei suoi sottogruppi non banali è non banale".
Il teorema di Cauchy implica con immediatezza che un tale [tex]G[/tex] dev'essere un [tex]p[/tex]-gruppo (anche infinito) con un unico sottogruppo di ordine [tex]p[/tex], e come vedi da qui se [tex]G[/tex] è finito allora risulta essere o ciclico o un "quaternione generalizzato" con [tex]p=2[/tex]. Sul caso infinito non mi esprimo, anche se dubito che possa occorrere.
Mi pare di poter interpretare la tua domanda così: "è vero che ogni gruppo con la proprietà (*) è un gruppo di Dedekind?". La risposta è no: la classificazione dei gruppi Hamiltoniani implica che l'unico gruppo Hamiltoniano con la proprietà (*) è [tex]Q_8[/tex]. Infatti se [tex]G=Q_8 \times P[/tex] allora [tex](Q_8 \times \{1\}) \cap (\{1\} \times P) = \{1\}[/tex].
Grazie per la delucidazione, interessante, comunque che nel gruppo dei quaternioni ogni sottogruppo risulti normale
non é dovuto al fatto che ogni elemento della forma $xyx^-1y^-1$ $in$$nnH_i$, dove con $nnH_i$ è indicato il sottogruppo intersezione di tutti i sottogruppi di $Q_8$?
non é dovuto al fatto che ogni elemento della forma $xyx^-1y^-1$ $in$$nnH_i$, dove con $nnH_i$ è indicato il sottogruppo intersezione di tutti i sottogruppi di $Q_8$?
Sì, quel fatto è sufficiente per dire che ogni sottogruppo è normale.
Detto col linguaggio classico, è così:
(A) Se un gruppo [tex]G[/tex] è tale che [tex]G'[/tex] (il sottogruppo derivato di [tex]G[/tex]) è contenuto in tutti i sottogruppi non banali di [tex]G[/tex] allora ogni sottogruppo di [tex]G[/tex] è normale.
Più in generale,
(B) detta [tex]N[/tex] l'intersezione dei sottogruppi non banali di [tex]G[/tex] (osserva "en passant" che [tex]N \unlhd G[/tex]), [tex]G[/tex] è un gruppo di Dedekind se e solo se [tex]G/N[/tex] lo è.
Infatti per il cosiddetto "teorema di corrispondenza" i sottogruppi normali non banali di [tex]G[/tex] corrispondono biunivocamente e canonicamente ai sottogruppi normali di [tex]G/N[/tex]. Questo dimostra (B).
E se [tex]G' \subseteq N[/tex] allora il quoziente [tex]G/N[/tex] è addirittura abeliano. Questo dimostra (A).
Detto col linguaggio classico, è così:
(A) Se un gruppo [tex]G[/tex] è tale che [tex]G'[/tex] (il sottogruppo derivato di [tex]G[/tex]) è contenuto in tutti i sottogruppi non banali di [tex]G[/tex] allora ogni sottogruppo di [tex]G[/tex] è normale.
Più in generale,
(B) detta [tex]N[/tex] l'intersezione dei sottogruppi non banali di [tex]G[/tex] (osserva "en passant" che [tex]N \unlhd G[/tex]), [tex]G[/tex] è un gruppo di Dedekind se e solo se [tex]G/N[/tex] lo è.
Infatti per il cosiddetto "teorema di corrispondenza" i sottogruppi normali non banali di [tex]G[/tex] corrispondono biunivocamente e canonicamente ai sottogruppi normali di [tex]G/N[/tex]. Questo dimostra (B).
E se [tex]G' \subseteq N[/tex] allora il quoziente [tex]G/N[/tex] è addirittura abeliano. Questo dimostra (A).
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