Gruppo degli invertibili in $ZZ_n$
Non riesco a capire cosa si intende per "gruppo degli invertibili in $ZZ_n$".
So che in un gruppo si dice "inverso" un elemento $a^-1$ tale che $a*a^-1=a^-1*a=e$ dove $e$ è l'elemento neutro rispetto all'operazione.
Ora ad esempio, in $ZZ_(10)$, gli elementi sono:
$bar0 bar1 bar2 bar3 bar4 bar5 bar6 bar7 bar8 bar9 $
L'inverso di $bar0$ non esiste, l'inverso di $bar1$ è ovviamente $bar1$, l'inverso di $bar2$ non esiste, l'inverso di $bar3$ è $bar7$, l'inverso di $bar4$ non esiste, l'inverso di $bar5$ non esiste, l'inverso di $bar6$ non esiste, l'inverso di $bar7$ è $bar3$. l'inverso di $bar8$ non esiste, l'inverso di $bar9$ è $bar9$.
Quindi in $ZZ_(10)$ gli invertibili sono $bar1 bar3 bar7 bar9$ che sono poi i coprimi con $10$.
Ora sapendo questo, come è fatto il gruppo degli invertibili in $ZZ_(10)$ ?!? E' ciclico? Che generatori ha se ce l'ha??
Grazie !!
So che in un gruppo si dice "inverso" un elemento $a^-1$ tale che $a*a^-1=a^-1*a=e$ dove $e$ è l'elemento neutro rispetto all'operazione.
Ora ad esempio, in $ZZ_(10)$, gli elementi sono:
$bar0 bar1 bar2 bar3 bar4 bar5 bar6 bar7 bar8 bar9 $
L'inverso di $bar0$ non esiste, l'inverso di $bar1$ è ovviamente $bar1$, l'inverso di $bar2$ non esiste, l'inverso di $bar3$ è $bar7$, l'inverso di $bar4$ non esiste, l'inverso di $bar5$ non esiste, l'inverso di $bar6$ non esiste, l'inverso di $bar7$ è $bar3$. l'inverso di $bar8$ non esiste, l'inverso di $bar9$ è $bar9$.
Quindi in $ZZ_(10)$ gli invertibili sono $bar1 bar3 bar7 bar9$ che sono poi i coprimi con $10$.
Ora sapendo questo, come è fatto il gruppo degli invertibili in $ZZ_(10)$ ?!? E' ciclico? Che generatori ha se ce l'ha??
Grazie !!
Risposte
"gygabyte017":
Non riesco a capire cosa si intende per "gruppo degli invertibili in $ZZ_n$".
So che in un gruppo si dice "inverso" un elemento $a^-1$ tale che $a*a^-1=a^-1*a=e$ dove $e$ è l'elemento neutro rispetto all'operazione.
Ora ad esempio, in $ZZ_(10)$, gli elementi sono:
$bar0 bar1 bar2 bar3 bar4 bar5 bar6 bar7 bar8 bar9 $
L'inverso di $bar0$ non esiste, l'inverso di $bar1$ è ovviamente $bar1$, l'inverso di $bar2$ non esiste, l'inverso di $bar3$ è $bar7$, l'inverso di $bar4$ non esiste, l'inverso di $bar5$ non esiste, l'inverso di $bar6$ non esiste, l'inverso di $bar7$ è $bar3$. l'inverso di $bar8$ non esiste, l'inverso di $bar9$ è $bar9$.
Quindi in $ZZ_(10)$ gli invertibili sono $bar1 bar3 bar7 bar9$ che sono poi i coprimi con $10$.
Ora sapendo questo, come è fatto il gruppo degli invertibili in $ZZ_(10)$ ?!? E' ciclico? Che generatori ha se ce l'ha??
Grazie !!
Come hai giustamente fatto notare, l'insieme degli interi invertibili modulo 10 è costituito dalle classi d'equivalenza di $1,3,7,9$:
$ZZ_(10)**={bar1,bar3,bar7,bar9}$.
Ovviamente tale insieme non può essere generato da $bar1$; però hai $bar3^2=bar9$, $bar3^3=bar(27)=bar7$, $bar3^4=bar3*bar7=bar(21)=bar1$, quindi $ZZ_(10)**$ è generato da $bar3$.
D'altra parte hai $bar7^2=bar(49)=bar9$, $bar7^3=bar7*bar9=bar(63)=bar3$ e $bar7^4=bar7*bar3=bar(21)=bar1$, onde anche $bar7$ genera $ZZ_(10)**$.
Infine, essendo $bar9^2=bar1$, il sottogruppo generato da $bar9$ è ${bar1,bar9}subset ZZ_(10)**$.
Riassumendo: $ZZ_(10)**$ è generato da $bar3$ o $bar7$ (quindi è ciclico), ha come unico sottogruppo d'ordine due quello generato da $bar9$ ed ha $4$ elementi.
Nel caso generale, l'insieme degli elementi di $ZZ_n$ che sono invertibili rispetto al prodotto, denotato di solito col simbolo $ZZ_n**$, è costituito da tutte e sole le classi d'equivalenza generate dagli elementi primi con $n$: ossia:
$barm in ZZ_n** quad " se e solo se " quad (m,n)=1 quad$ (qui ovviamente è $(m,n)=MCD(m,n)$).
Ad esempio, $bar6$ è in $ZZ_7**$ ma non in $ZZ_(10)**$ poichè $(6,7)=1$ mentre $(6,10)=2$.
Una conseguenza di questo fatto è che per ogni primo $p$ si ha $ZZ_p**=ZZ_p$.
Il numero degli elementi di $ZZ_n**$ è, ovviamente, uguale al numero di numeri positivi minori di $n$ e primi con $n$ (qui assumo che $n>1$): tale numero è dato dalla funzione di Eulero, che si denota usualmente con $phi$.
Vediamo come si fa a dire esplicitamente quanto vale $phi(n)$. Evidentemente per un numero primo $p$ risulta $phi(p)=p-1$ però si prova in generale che, per ogni $alpha in NN$, risulta $phi(p^alpha)=(p-1)*p^(alpha-1)$; inoltre, presi due interi $m,l$ primi fra loro, si può verificare che $phi(m*l)=phi(m)*phi(l)$.
Visto che il Teorema di Fattorizzazione Unica ti dice che comunque scegli $n>1 in ZZ$ esistono e sono unici $r$ ($in NN$) primi positivi $p_1,\ldots ,p_r$ ed altrettanti $alpha_1,\ldots ,alpha_r in NN$ tali che $n=p_1^(alpha_1)*\ldots*p_r^(alpha_r)$, le relazioni trovate per la funzione di Eulero ti portano a concludere che:
$|ZZ_n**|=phi(n)=\prod_(k=1)^r phi(p_k^(alpha_k))=(p_1-1)*p^(alpha_1-1)*\ldots*(p_r-1)*p_r^(alpha_r-1)$.
Visto che $10=2*5$, applicando la formula ora provata troviamo $|ZZ_(10)**|=(2-1)*(5-1)=4$ che è quanto ci aspettavamo; analogamente poichè $360=2^3*3^2*5$, si ha $|ZZ_(360)|=(2-1)*2^2*(3-1)*3*(5-1)=96$.
Si prova che $ZZ_n**$ dotato dell'operazione di prodotto $*$ mutuata da $ZZ_n$ è un gruppo commutativo: insomma valgono in $ZZ_n**$ le usuali proprietà del prodotto, ivi inclusa la commutativa, ed inoltre comunque prendi un $barm in ZZ_n**$ esiste un $barl in ZZ_n**$ tale che $barm*barl=bar1$ (un $barl$ con tale proprietà viene detto reciproco od inverso di $barm$ in $ZZ_n**$ e viene di solito denotato col simbolo $barm^(-1)$).
Mi fermo qui, dato che non sono un algebrista.
Spero che qualcun altro ti aiuti con la ciclicità e le altre questioni in sospeso.
Innanzitutto grazie per la chiarissima spiegazione! Hai fatto un'ottimo riepilogo.
Mi confermi queste definizioni per favore?
1) Se un gruppo è ciclico c'è almeno un generatore e viceversa
2) $ginG$ è un generatore se, essendo $|G|=n$ allora $n$ è il più piccolo intero tale che $g^n=e$ ovvero $ = { e, g, g^2, g^2, ..., g^(n-1)} = G$
3) Tutti gli $ZZ_n$ sono ciclici
4) se $g^i=e$, cioè $||=i$ ma $i
Giusto??
Grazie ancora!!
Mi confermi queste definizioni per favore?
1) Se un gruppo è ciclico c'è almeno un generatore e viceversa
2) $ginG$ è un generatore se, essendo $|G|=n$ allora $n$ è il più piccolo intero tale che $g^n=e$ ovvero $
3) Tutti gli $ZZ_n$ sono ciclici
4) se $g^i=e$, cioè $|
Giusto??
Grazie ancora!!
Direi che gugo82 è stato chiarissimo... 
Un bel ripassino ci voleva, con l'esame di algebra incombente....
Un bel ripassino ci voleva, con l'esame di algebra incombente....
Attenzione gygabyte: in un gruppo ogni elemento è invertibile.
Quando ti si chiede di trovare gli invertibili di $ZZ_n$ si sta guardando $ZZ_n$ come anello (e non come 'semplice' gruppo), quindi non ti si chiede il gruppo degli invertibili rispetto alla + (che è tutto $ZZ_n$, poiché ogni anello è un gruppo rispetto alla +) ma il gruppo degli invertibili rispetto alla * (la moltiplicazione).
Mi scuso se questo ti era chiaro. L'ho scritto perché mi è risultata strana l'affermazione 4) del tuo ultimo messaggio.
Quando ti si chiede di trovare gli invertibili di $ZZ_n$ si sta guardando $ZZ_n$ come anello (e non come 'semplice' gruppo), quindi non ti si chiede il gruppo degli invertibili rispetto alla + (che è tutto $ZZ_n$, poiché ogni anello è un gruppo rispetto alla +) ma il gruppo degli invertibili rispetto alla * (la moltiplicazione).
Mi scuso se questo ti era chiaro. L'ho scritto perché mi è risultata strana l'affermazione 4) del tuo ultimo messaggio.
"Martino":
Attenzione gygabyte: in un gruppo ogni elemento è invertibile.
Quando ti si chiede di trovare gli invertibili di $ZZ_n$ si sta guardando $ZZ_n$ come anello (e non come 'semplice' gruppo), quindi non ti si chiede il gruppo degli invertibili rispetto alla + (che è tutto $ZZ_n$, poiché ogni anello è un gruppo rispetto alla +) ma il gruppo degli invertibili rispetto alla * (la moltiplicazione).
Mi scuso se questo ti era chiaro. L'ho scritto perché mi è risultata strana l'affermazione 4) del tuo ultimo messaggio.
No no hai ragione! Mi stavo confondendo in effetti! Giustamente l'invertibilità di ogni elemento è proprio un assioma del gruppo...
Gli altri punti sono corretti?
"alvinlee88":eh si direi proprio di si, ho l'esonero il 14
Un bel ripassino ci voleva, con l'esame di algebra incombente....
Gli altri punti sono giusti. Ci tenevo solo a rimarcare che $ZZ_n$ è un gruppo rispetto alla + (ciclico, generato da 1) e non rispetto alla * se $1 \ne 0$ (perché 0 non ha inverso moltiplicativo), mentre il gruppo delle unità di $ZZ_n$ è un gruppo rispetto alla *, ma non rispetto alla + se $1 \ne 0$ (perché 0 non appartiene a tale gruppo).
Tutto ciò fermo restando il fatto che per me un anello è un gruppo abeliano rispetto alla più e un monoide rispetto alla * (ho sentito definizioni secondo cui un anello sarebbe solo un semigruppo rispetto alla *; per me non è il caso), più le varie leggi di compatibilità tra somma e prodotto.
Tutto ciò fermo restando il fatto che per me un anello è un gruppo abeliano rispetto alla più e un monoide rispetto alla * (ho sentito definizioni secondo cui un anello sarebbe solo un semigruppo rispetto alla *; per me non è il caso), più le varie leggi di compatibilità tra somma e prodotto.
Un'ultima domanda (spero): quando mi viene chiesto "Si studi il gruppo moltiplicativo U degli invertibili in $(ZZ_(18), +)$", gli inversi sono quelli rispetto al prodotto o rispetto all'addizione?? Cioè ad esempio in $(ZZ_(18),+)$ l'inverso ad esempio di $bar5$ è $bar(13)$ (ovvero $bar5 + bar(13) = bar0$) oppure è $bar(11)$ (ovvero $bar5 * bar(11) = bar1$) ??
Grazie ancora!
Grazie ancora!
"gygabyte017":
"Si studi il gruppo moltiplicativo U degli invertibili in $(ZZ_(18), +)$"
"gygabyte017":
3) Tutti gli $ZZ_n$ sono ciclici
Piccolo dubbio: $ZZ//_(8z)$ (con questa notazione intendo l'insieme quoziente di $ZZ$ rispetto alla congruenza modulo $8$), rispetto alla moltiplicazione, non è ciclico. O sbaglio?
Un'altra cosa: gygabyte017 dice: "Si studi il gruppo moltiplicativo U degli invertibili in $(ZZ//_(18z),+)$ ", gli inversi sono quelli rispetto al prodotto o rispetto all'addizione??" Dice "in $(ZZ//_(18z),+)$", che è un gruppo, quindi io capirei rispetto all'addizione. Ma non sembra avere molto senso, dato che proprio per gli assiomi di gruppo ogni elemento è invertibile. Quindi? Martino, con il tuo intervento sembri (o meglio, lo fai
) voler focalizzare l'attenzione su "moltiplicativo". Però ancora ho un pò di confusione in testa. Ti sarei grato (credo anche gygabyte, povero esaminando come me) se mi chiarissi questa vicenda. Buonanotte.
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