Gruppo degli automorfismi "irregolare"

[paolo.papadia]

Mi servirebbe un esempio di un gruppo $G$ (possibilmente finito) tale che il gruppo dei suoi automorfismi $Aut(G)$ NON sia un prodotto semidiretto di $I n n(G)$ per $Out(G)$.
Sto sbattendo la testa da giorni sul problema. Ovviamente si possono escludere i $G$ commutativi, inoltre ho ragione di credere che si possano escludere i gruppi a centro banale.
Per la ricerca dell'esempio mi sono ristretto ai p-gruppi ma purtroppo quelli che conosco e che sono riuscito a costruire (ma tutti di ordine $p^3$) non funzionano.

L'esempio mi serve per costruire una particolare classe di estensioni di gruppi la cui esistenza è equivalente appunto all'esistenza di gruppi con la proprietà sopra descritta. Dovrebbe esistere oppure si banalizzerebbero intere pagine di libri rispettabili(per i curiosi posso approfondire).

Qualcuno sa aiutarmi? anche solo idee o se conoscete qualche scritto che si concentra sugli automorfismi dei p-gruppi, qualsiasi cosa.

[Studente Anonimo]

Guarda qui. Il più piccolo è il gruppo diedrale di ordine 10, e parlando di 2-gruppi hai il diedrale di ordine 16. Un altro esempio è $A_6$. In questo articolo vengono determinati tutti i gruppi semplici $S$ tali che $Aut(S) to Out(S)$ non è split.

[paolo.papadia]

Lo sapevo che era il posto giusto dove chiedere grazie mille