Gruppo ciclico e soluzioni dell'equazione $x^n=e$
Buongiorno a tutti!
Ho delle perplessità sulla dimostrazione della proposizione seguente:
"Sia $G$ un gruppo abeliano finito nel quale il numero delle soluzioni dell'equazione $x^n=e$ è al più $n$, per ogni intero positivo $n$. Si provi che $G$ è ciclico".
Dimostrazione: Se $m$ ed $n$ sono ordini di elementi nel gruppo $G$, allora anche il loro minimo comune multiplo è l’ordine di qualche elemento. In particolare, se $N$ è il minimo comune multiplo dell’ordine di tutti gli elementi di $G$, esiste allora un elemento in $G$ di ordine $N$: quindi $x^N = e$ per ogni $x in G$. Tuttavia, $x^N = e$ ha al più $N$ soluzioni per ipotesi. Perciò $O(G)<=N$. D’altro canto $N$ divide $O(G)$, da cui $N <= O(G)$. Ne segue che $N = O(G)$, e quindi che $G$ è ciclico.
Ho dei punti poco chiari della dimostrazione:
Come si fa a dedurre che $x^N = e$ per ogni $x in G$?
Perchè $O(G)<=N$?
Forse le spiegazioni saranno delle banalità ma vorrei comprendere punto per punto il ragionamento.
Grazie.
Andrea
Ho delle perplessità sulla dimostrazione della proposizione seguente:
"Sia $G$ un gruppo abeliano finito nel quale il numero delle soluzioni dell'equazione $x^n=e$ è al più $n$, per ogni intero positivo $n$. Si provi che $G$ è ciclico".
Dimostrazione: Se $m$ ed $n$ sono ordini di elementi nel gruppo $G$, allora anche il loro minimo comune multiplo è l’ordine di qualche elemento. In particolare, se $N$ è il minimo comune multiplo dell’ordine di tutti gli elementi di $G$, esiste allora un elemento in $G$ di ordine $N$: quindi $x^N = e$ per ogni $x in G$. Tuttavia, $x^N = e$ ha al più $N$ soluzioni per ipotesi. Perciò $O(G)<=N$. D’altro canto $N$ divide $O(G)$, da cui $N <= O(G)$. Ne segue che $N = O(G)$, e quindi che $G$ è ciclico.
Ho dei punti poco chiari della dimostrazione:
quindi $x^N = e$ per ogni $x in G$. Tuttavia, $x^N = e$ ha al più $N$ soluzioni per ipotesi. Perciò $O(G)<=N$.
Come si fa a dedurre che $x^N = e$ per ogni $x in G$?
Perchè $O(G)<=N$?
Forse le spiegazioni saranno delle banalità ma vorrei comprendere punto per punto il ragionamento.
Grazie.
Andrea
Risposte
Con $e$ indichi l'elemento neutro del gruppo?
Se sì, per costruzione $N$ è il minimo comune multiplo dei periodi degli elementi di $G$. Allora segue che
$AAx in G$ $O(x)|N$, da cuii $x^N=e$.
Inoltre, poichè per ipotesi $x^N=e$ ha al più $N$ soluzioni, necessariamente $G$ ha cardinalità minore o uguale a $N$. (dato che la relazione è soddisfatta da ogni elemento del gruppo.)
Ti torna?
Se sì, per costruzione $N$ è il minimo comune multiplo dei periodi degli elementi di $G$. Allora segue che
$AAx in G$ $O(x)|N$, da cuii $x^N=e$.
Inoltre, poichè per ipotesi $x^N=e$ ha al più $N$ soluzioni, necessariamente $G$ ha cardinalità minore o uguale a $N$. (dato che la relazione è soddisfatta da ogni elemento del gruppo.)
Ti torna?
Sì con $e$ indico l'elemento neutro del gruppo.
Il fatto che da $O(x)|N$ segua che $x^N=e$ segue dal fatto che essendo: $N=lambda*O(x)$ per un certo $lambdainZZ$, si ha: $x^(lambda*O(x))=(x^(O(x)))^lambda=e^(lambda)=e$, giusto?
Non ho chiara, invece, l'affermazione:
Potresti spiegarmi il ragionamento che hai svolto?
E poi, in ultimo, vorrei avere chiaro l'ultimo passaggio della dimostrazione; mi riferisco all'affermazione:
"D’altro canto $N$ divide $O(G)$, da cui $N≤O(G)$. Ne segue che $N=O(G)$, e quindi che $G$ è ciclico".
Il fatto che $N|O(G)$ è assicurato da un corollario del teorema di Lagrange, giusto? [Grossolanamente: l'ordine di un elemento divide l'ordine del gruppo]
E poi perchè dall'uguaglianza $N=O(G)$ si può dedurre che $G$ è ciclico?
Ti ringrazio.
Il fatto che da $O(x)|N$ segua che $x^N=e$ segue dal fatto che essendo: $N=lambda*O(x)$ per un certo $lambdainZZ$, si ha: $x^(lambda*O(x))=(x^(O(x)))^lambda=e^(lambda)=e$, giusto?
Non ho chiara, invece, l'affermazione:
poichè per ipotesi $x^N=e$ ha al più $N$ soluzioni, necessariamente $G$ ha cardinalità minore o uguale a $N$. (dato che la relazione è soddisfatta da ogni elemento del gruppo.)
Potresti spiegarmi il ragionamento che hai svolto?
E poi, in ultimo, vorrei avere chiaro l'ultimo passaggio della dimostrazione; mi riferisco all'affermazione:
"D’altro canto $N$ divide $O(G)$, da cui $N≤O(G)$. Ne segue che $N=O(G)$, e quindi che $G$ è ciclico".
Il fatto che $N|O(G)$ è assicurato da un corollario del teorema di Lagrange, giusto? [Grossolanamente: l'ordine di un elemento divide l'ordine del gruppo]
E poi perchè dall'uguaglianza $N=O(G)$ si può dedurre che $G$ è ciclico?
Ti ringrazio.
...$N=lambda*O(x)$ per un certo $lambdainZZ$, si ha: $x^(lambda*O(x))=(x^(O(x)))^lambda=e^(lambda)=e$, giusto?Esatto.
...Potresti spiegarmi il ragionamento che hai svolto?
Abbiamo una relazione che è soddisfatta da ogni elemento del gruppo e che, in più, ha al massimo $N$ soluzioni. Se la cardinalità del gruppo fosse superiore a $N$ allora seguirebbe che la relazione $x^N=e$ sarebbe soddisfatto da più di $N$ elementi, ma questo va contro le ipotesi.
Il fatto che $N|O(G)$ è assicurato da un corollario del teorema di Lagrange, giusto? [Grossolanamente: l'ordine di un elemento divide l'ordine del gruppo]
Anche questo è ok.
Infine, il gruppo è ciclico perchè ha ordine $N$ ed esiste un elemento $ginG$ di periodo $N$. Pertanto, le $N$ potenze distinte di $g$ costituiscono gli $N$ elementi del gruppo.
Spero ti sia più chiaro ora !
Ok. Tutto chiaro. L'elemento $g$ di cui parli chiaramente esiste nel gruppo e quindi vale quando richiesto. Perfetto.
Un'ultima cosa che non c'entra con l'esercizio proposto... o quasi:
Considero l'insieme $Q_p={ainZZ_ptext{*}:a=x^2 text{ per qualche } x inZZ_ptext{*}}$, con $p$ numero primo maggiore di 2, dove con $inZZ_ptext{*}$ si denota l'insieme delle classi di resto modulo $p$ eccetto $[0]$. Ho provato che si tratta di un sottogruppo di $inZZ_ptext{*}$ ma non capisco perchè nel suggerimento si afferma che, se si pone $inZZ_ptext{*}={e,a,a^2,...,a^(p-2)}$ (in quanto tale gruppo è ciclico di ordine $p-1$) risulta che $Q_p$ è il sottogruppo di $inZZ_ptext{*}$ generato da $a^2$... Hai qualche idea? Dipende forse dal fatto che $a=x^2$? [Ci sono andato ad intuito più che altro...]
Un'ultima cosa che non c'entra con l'esercizio proposto... o quasi:
Considero l'insieme $Q_p={ainZZ_ptext{*}:a=x^2 text{ per qualche } x inZZ_ptext{*}}$, con $p$ numero primo maggiore di 2, dove con $inZZ_ptext{*}$ si denota l'insieme delle classi di resto modulo $p$ eccetto $[0]$. Ho provato che si tratta di un sottogruppo di $inZZ_ptext{*}$ ma non capisco perchè nel suggerimento si afferma che, se si pone $inZZ_ptext{*}={e,a,a^2,...,a^(p-2)}$ (in quanto tale gruppo è ciclico di ordine $p-1$) risulta che $Q_p$ è il sottogruppo di $inZZ_ptext{*}$ generato da $a^2$... Hai qualche idea? Dipende forse dal fatto che $a=x^2$? [Ci sono andato ad intuito più che altro...]
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