Gruppo ciclico e campo finito
Ciao a tutti! Sono in difficoltà con questo esercizio:
Siano $p$ un numero primo, $n in NN$ e $m$ un divisore positivo di $n$. Si dimostri:
(a) ogni gruppo ciclico di ordine $n$ contiene un sottogruppo di ordine $m$
(b) ogni campo finito di $p^n$ elementi contiene un sottocampo di $p^m$ elementi-
Qualcuno può aiutarmi? non capisco come inizire.. Grazie in anticipo!
Siano $p$ un numero primo, $n in NN$ e $m$ un divisore positivo di $n$. Si dimostri:
(a) ogni gruppo ciclico di ordine $n$ contiene un sottogruppo di ordine $m$
(b) ogni campo finito di $p^n$ elementi contiene un sottocampo di $p^m$ elementi-
Qualcuno può aiutarmi? non capisco come inizire.. Grazie in anticipo!
Risposte
Ciao, benvenuta/o nel forum.
Per permetterci di aiutarti dovresti almeno dirci quanta teoria puoi usare. Sai come sono fatti i gruppi di Galois delle estensioni di campi finiti? Piu' in generale, sai cosa sono i gruppi di Galois?. Inoltre [mod="Martino"]ti e' richiesto (da regolamento) di proporre tue riflessioni e/o tuoi tentativi di soluzione.[/mod]
Per permetterci di aiutarti dovresti almeno dirci quanta teoria puoi usare. Sai come sono fatti i gruppi di Galois delle estensioni di campi finiti? Piu' in generale, sai cosa sono i gruppi di Galois?. Inoltre [mod="Martino"]ti e' richiesto (da regolamento) di proporre tue riflessioni e/o tuoi tentativi di soluzione.[/mod]
La teoria di Galois l'ho appena iniziata..ho fatto definizione di estensione di Galois e il teorema fondamentale della teoria di Galois. E nessun esempio pratico al riguardo..quindi non so proprio come iniziare! Potreste dirmi come iniziare la dimostrazione?? 
Intanto osserva che l'insieme degli zeri di [tex]x^{p^n}-x[/tex] su [tex]\mathbb{F}_p[/tex] (ottenuto tramite l'aggiunzione di zeri) e' un campo con [tex]p^n[/tex] elementi (questo l'avete visto per forza). Si tratta di un campo di spezzamento di [tex]x^{p^n}-x[/tex]. In particolare i campi di spezzamento di [tex]x^{p^n}-x[/tex] hanno [tex]p^n[/tex] elementi.
Ora osserva che se [tex]m[/tex] divide [tex]n[/tex] allora [tex]x^{p^m}-x[/tex] divide [tex]x^{p^n}-x[/tex] (se vuoi prova a dimostrarlo, ma penso che sia una cosa che avete visto).
Quindi in particolare un campo di spezzamento di [tex]x^{p^n}-x[/tex] contiene un campo di spezzamento di [tex]x^{p^m}-x[/tex].
Ora, questo lo ritroverai quando dimostrerete che se [tex]K \subset L[/tex] e' un'estensione di campi finiti di grado [tex]n[/tex] allora il suo gruppo di Galois e' ciclico di ordine [tex]n[/tex]. Questo insieme al tuo punto (a) (che si dimostra prendendo opportune potenze di un generatore) dice che il sottogruppo di [tex]\text{Gal}(L/K)[/tex] di ordine [tex]n/m[/tex] corrisponde all'intercampo di [tex]L/K[/tex] di grado [tex]m[/tex] su [tex]K[/tex].
Ora osserva che se [tex]m[/tex] divide [tex]n[/tex] allora [tex]x^{p^m}-x[/tex] divide [tex]x^{p^n}-x[/tex] (se vuoi prova a dimostrarlo, ma penso che sia una cosa che avete visto).
Quindi in particolare un campo di spezzamento di [tex]x^{p^n}-x[/tex] contiene un campo di spezzamento di [tex]x^{p^m}-x[/tex].
Ora, questo lo ritroverai quando dimostrerete che se [tex]K \subset L[/tex] e' un'estensione di campi finiti di grado [tex]n[/tex] allora il suo gruppo di Galois e' ciclico di ordine [tex]n[/tex]. Questo insieme al tuo punto (a) (che si dimostra prendendo opportune potenze di un generatore) dice che il sottogruppo di [tex]\text{Gal}(L/K)[/tex] di ordine [tex]n/m[/tex] corrisponde all'intercampo di [tex]L/K[/tex] di grado [tex]m[/tex] su [tex]K[/tex].
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