Gruppo caratteristico

[giuliacarlino1993]

Salve ragazzi non riesco a dimostrare che il sottogruppo di un gruppo ciclico è caratteristico?? Come dovrei fare??

[perplesso1]

Se $G = $ è un gruppo ciclico finito di ordine $n$, i suoi generatori sono gli elementi $x^k$ con $k$ coprimo con $n$. Di conseguenza un generico automorfismo $f:G -> G$ manda $x$ in $x^k$. Sia $H$ un sottogruppo di $G$ allora $H= $ per qualche intero positivo $t$ e risulta $f(x^t) = (x^k)^t = (x^t)^k \in H$ e quindi $f(H)= \subseteq H$ cioè $f(H)= H$ perchè $f(H)$ ha la stessa cardinalità di $H$ (essendo $f$ una biezione) .

[giuliacarlino1993]

Non mi è chiaro perchè ogni automorfismo $ f:Grarr G $ manda $ x $ in $ x^k $