Gruppo abeliano, automorfismo

[ZetaFunction1]

Sia $G$ un gruppo abeliano finito di ordine dispari. Dimostrare che l'applicazione $\varphi: G\to G$ definita da $\varphi(x)=x^2$ è un automorfismo di $G$.

Ora, che la funzione si comporti come un isomorfismo è evidente. Ma non riesco a dimostrare che sia biettiva.

[Kashaman]

Ciao,
piccola dritta :
ragiona sugli ordini degli elementi del gruppo $G$ e cerca di capire come è fatto il nucleo di $\phi$. Dopo di che dedotta l'ingettività , hai a gratis la surgettività in quanto l'applicazione è tra due insiemi finiti ed equipotenti

[ZetaFunction1]

Giusto! Gli ordini degli elementi debbono essere per forza dispari, segue che il nucleo è composto dalla sola identità. Grazie.