Gruppo abeliano

[ludovica.sarandrea]

Buongiorno,
ho il seguente esercizio.
Sia $G$ un gruppo con la proprieta' che $G$/$Z(G)$ e' ciclico, dimostrare che $G$ e' abeliano.
Io ho fatto in questo modo:
$G$/$Z(G)$ e' ciclico quindi per ogni $x$ in $G$ $x^i∈Z(G)$. di conseguenza $G={X^(i) z: z∈Z(G)}$
Ora non so piu' come procedere, potreste darmi un suggerimento??

[dan952]

Poiché $C=G//Z(G)$ è ciclico esiste $g \in C$ tale che $<>=C$, quindi $C$ è abeliano (con la proprietà associativa si dimostra che $g^kg^h=g^hg^k$) dunque in particolare per ogni $x \in C$ si ha che $gx=xg$ ovvero $g \in Z(G)$ da cui segue $C=0$ cioè $G=Z(G)$.

[ludovica.sarandrea]

"dan95":Poiché $C=G//Z(G)$ è ciclico esiste $g \in C$ tale che $<>=C$, quindi $C$ è abeliano (con la proprietà associativa si dimostra che $g^kg^h=g^hg^k$) dunque in particolare per ogni $x \in C$ si ha che $gx=xg$ ovvero $g \in Z(G)$ da cui segue $C=0$ cioè $G=Z(G)$.

ma cosi e' come se tu avessi assunto come ipotesi che C e' abeliano, correggimi se sbaglio?

[dan952]

Una delle prime cose che ti vengono insegnate in teoria dei gruppi è che ogni gruppo ciclico è abeliano.

[ludovica.sarandrea]

"dan95":Una delle prime cose che ti vengono insegnate in teoria dei gruppi è che ogni gruppo ciclico è abeliano.

Giusto, ti ringrazio