Gruppi (sottogruppi)
Bè ecco il testo:
hp:
$H$ sottogruppo di $G$
$Ha!=Hb => aH!=bH$
dimostrare allora che
$\forall g \in G$ ____________ $ gHg^(-1) sub H$
Bè io non ci riesco...
posto il mio ragionamento che si basa su un lemma di dubbia ragionevolezza, che peraltro non sò dimostrare
Allora posto subito il lemma così nel caso sia un orrore non si perda tempo
LEMMA
$H<=G$ ($H$ sottogrupo di $G$)
$a \in G$____ $b \in G$ ________ ma _______ $a \notin H$____ $b \notin H$
$ab \in H$ ____ $ba \in H$
allora la tesi è che
$ab=ba=e$
dove $e$ è l'elemento neutro
hp:
$H$ sottogruppo di $G$
$Ha!=Hb => aH!=bH$
dimostrare allora che
$\forall g \in G$ ____________ $ gHg^(-1) sub H$
Bè io non ci riesco...
posto il mio ragionamento che si basa su un lemma di dubbia ragionevolezza, che peraltro non sò dimostrare
Allora posto subito il lemma così nel caso sia un orrore non si perda tempo
LEMMA
$H<=G$ ($H$ sottogrupo di $G$)
$a \in G$____ $b \in G$ ________ ma _______ $a \notin H$____ $b \notin H$
$ab \in H$ ____ $ba \in H$
allora la tesi è che
$ab=ba=e$
dove $e$ è l'elemento neutro
Risposte
"angus89":
LEMMA
$H<=G$ ($H$ sottogrupo di $G$)
$a \in G$____ $b \in G$ ________ ma _______ $a \notin H$____ $b \notin H$
$ab \in H$ ____ $ba \in H$
allora la tesi è che
$ab=ba=e$
dove $e$ è l'elemento neutro
mi pare falso: considera $ZZ$ e il sottogruppo $6ZZ$ allora $2,3 \notin 6ZZ$ però $2*3=3*2 in 6ZZ$ e $6!=0$
edit: niente sono un imbecille, non fare caso a quello che ho scritto
ariedit: devo usare la somma e non il prodotto: considera $5ZZ$ come sottogruppo e sempre $2,3 \notin 5ZZ$ vale $2+3=3+2 in 5ZZ$ e $5!=0$ mi auguro di non aver toppato stavolta
sisi...certo...chiaro...
ma forse vale per i gruppi con ordine finito
ma forse vale per i gruppi con ordine finito
ok..ad ogni modo chi mi dà una mano a risolvere questo esercizio...son un paio di giorni che non mi smuovo (sia chiaro, non faccio solo quello...)
Non capisco come poso usare l'ipotesi
Non capisco come poso usare l'ipotesi
Supponiamo che esistano un $a$ e un $b$ tali che $Ha \ne Hb$ ma $aH = bH$ allora $ab^{-1} \notin H$ ma $b^{-1}a \in H$.
Se $H$ fosse normale allora $b b^{-1}ab^{-1} = ab^{-1} \in H$ che è una contraddizione e quindi se $H$ è normale allora $Ha \ne Hb => aH \ne bH$.
Dimostriamo quindi l'altro senso... Consideriamo l'azione sinistra di $G$ sui laterali sinistri per moltiplicazione a sinistra. Allora consideriamo l'orbita di $aH$.
Consideriamo le condizioni necessarie tali che $Hga = Ha$ allora $gaa^{-1} = g in H$. Questo significa che se $g\notin H$ allora $Hga \ne Ha$ e quindi per le ipotesi $gaH\ne aH$. Quindi $Stab(aH) subseteq H$. Inoltre per ogni $b$ esiste un elemento $g$ tale che $b=ga$ e quindi per ogni $b$ tale che il laterale $Hb$ sia diverso da $Ha$ esiste un elemento $g$ tale che manda $aH$ in $bH$, che per ipotesi sono diversi. Quindi l'azione è transitiva.
Abbiamo che $Stab(H) = H$. Sappiamo che gli stabilizzatori di elementi di un'orbita sono sottogruppi coniugati (attraverso l'elemento g che manda uno nell'altro). Dato che $Stab(aH)\subset H$ per ogni $a$, che $Stab(H) = H$ e che esiste una sola orbita allora $gHg^{-1}\subseteq H$ per ogni $g$ e quindi il sottogruppo $H$ è normale.
Se $H$ fosse normale allora $b b^{-1}ab^{-1} = ab^{-1} \in H$ che è una contraddizione e quindi se $H$ è normale allora $Ha \ne Hb => aH \ne bH$.
Dimostriamo quindi l'altro senso... Consideriamo l'azione sinistra di $G$ sui laterali sinistri per moltiplicazione a sinistra. Allora consideriamo l'orbita di $aH$.
Consideriamo le condizioni necessarie tali che $Hga = Ha$ allora $gaa^{-1} = g in H$. Questo significa che se $g\notin H$ allora $Hga \ne Ha$ e quindi per le ipotesi $gaH\ne aH$. Quindi $Stab(aH) subseteq H$. Inoltre per ogni $b$ esiste un elemento $g$ tale che $b=ga$ e quindi per ogni $b$ tale che il laterale $Hb$ sia diverso da $Ha$ esiste un elemento $g$ tale che manda $aH$ in $bH$, che per ipotesi sono diversi. Quindi l'azione è transitiva.
Abbiamo che $Stab(H) = H$. Sappiamo che gli stabilizzatori di elementi di un'orbita sono sottogruppi coniugati (attraverso l'elemento g che manda uno nell'altro). Dato che $Stab(aH)\subset H$ per ogni $a$, che $Stab(H) = H$ e che esiste una sola orbita allora $gHg^{-1}\subseteq H$ per ogni $g$ e quindi il sottogruppo $H$ è normale.
Controesempio lemma...
$G=S_4$
$H = A_4$
$a=b = (1234)$
Allora $ab = ba = (13)(24) \in A_4$ ma $(13)(24)\ne 1_G$
$G=S_4$
$H = A_4$
$a=b = (1234)$
Allora $ab = ba = (13)(24) \in A_4$ ma $(13)(24)\ne 1_G$
"vict85":
Supponiamo che esistano un $a$ e un $b$ tali che $Ha \ne Hb$ ma $aH = bH$ allora $ab^{-1} \notin H$ ma $b^{-1}a \in H$.
Se $H$ fosse normale allora $b b^{-1}ab^{-1} = ab^{-1} \in H$ che è una contraddizione e quindi se $H$ è normale allora $Ha \ne Hb => aH \ne bH$.
Dimostriamo quindi l'altro senso... Consideriamo l'azione sinistra di $G$ sui laterali sinistri per moltiplicazione a sinistra. Allora consideriamo l'orbita di $aH$.
Consideriamo le condizioni necessarie tali che $Hga = Ha$ allora $gaa^{-1} = g in H$. Questo significa che se $g\notin H$ allora $Hga \ne Ha$ e quindi per le ipotesi $gaH\ne aH$. Quindi $Stab(aH) subseteq H$. Inoltre per ogni $b$ esiste un elemento $g$ tale che $b=ga$ e quindi per ogni $b$ tale che il laterale $Hb$ sia diverso da $Ha$ esiste un elemento $g$ tale che manda $aH$ in $bH$, che per ipotesi sono diversi. Quindi l'azione è transitiva.
Abbiamo che $Stab(H) = H$. Sappiamo che gli stabilizzatori di elementi di un'orbita sono sottogruppi coniugati (attraverso l'elemento g che manda uno nell'altro). Dato che $Stab(aH)\subset H$ per ogni $a$, che $Stab(H) = H$ e che esiste una sola orbita allora $gHg^{-1}\subseteq H$ per ogni $g$ e quindi il sottogruppo $H$ è normale.
E' un paio di giorni che cerco di capire questa dimostrazione ma proprio non mi torna.
Considera che questo esercizio è dell'Herstein ed è dato dopo il primo capitolo sulla teoria dei gruppi.
Non è neppure stato definito il gruppo normale e tantomano azione di gruppo e orbita.
Non è possibile svolgere l'esercizio in maniera più "semplice"?
Dove per semplice non indendo più facile, ma utilizzando strumenti più elementari come il teorema di Lagrange al massimo...
Questa dimostrazione non è in realtà poi molto complessa. Basta una conoscenza base sulle azioni per capirla. Esattamente cosa non ti torna?
Per una dimostrazione più elementare ci dovrei pensare.
Per una dimostrazione più elementare ci dovrei pensare.
Ok, forse ci sono...
Se $Ha \ne Hb => aH \ne bH$ allora $aH = bH => Ha = Hb$.
Per ogni $h\in H$, $ahH = aH$ e se $aH = bH$ allora $b=ah$ per qualche $h\in H$ (deriva direttamente dalla prima riga che ho scritto nell'altro post...). Per ipotesi abbiamo quindi che $Hah = Ha$ per ogni $h\in H$. Passando quindi agli insiemi abbiamo che $HaH = Ha$.
Se $Ha = Hb$ allora $b = ha$ per qualche $h\in H$. Sia quindi $S$ il sottoinsieme di $H$ tale che $Ha = Hsa => aH = saH$ allora $aH = saH = SaH \subseteq HaH = Ha$. Quindi $aH \subseteq Ha$ cioé $aHa^{-1}\subseteq H$.
Se $Ha \ne Hb => aH \ne bH$ allora $aH = bH => Ha = Hb$.
Per ogni $h\in H$, $ahH = aH$ e se $aH = bH$ allora $b=ah$ per qualche $h\in H$ (deriva direttamente dalla prima riga che ho scritto nell'altro post...). Per ipotesi abbiamo quindi che $Hah = Ha$ per ogni $h\in H$. Passando quindi agli insiemi abbiamo che $HaH = Ha$.
Se $Ha = Hb$ allora $b = ha$ per qualche $h\in H$. Sia quindi $S$ il sottoinsieme di $H$ tale che $Ha = Hsa => aH = saH$ allora $aH = saH = SaH \subseteq HaH = Ha$. Quindi $aH \subseteq Ha$ cioé $aHa^{-1}\subseteq H$.
Consideriamo un Gruppo G*
sia H* un sottogruppo
si definisce un sottogruppo di G* che denominiamo essere normale quando verifica la condizione
a*H*1/a = H
In realtà per verificare che H sia un sottogruppo normale di G è sufficiente la condizione
meno forte cioè a*H*1/a contenuto in H
infatti se vale la relazione a*H*1/a contenuto in H per ogni a essa vale anche per la relazione
1/a*H*a contenuto in H.
Le due inclusioni porgono la tesi
ciao
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sia H* un sottogruppo
si definisce un sottogruppo di G* che denominiamo essere normale quando verifica la condizione
a*H*1/a = H
In realtà per verificare che H sia un sottogruppo normale di G è sufficiente la condizione
meno forte cioè a*H*1/a contenuto in H
infatti se vale la relazione a*H*1/a contenuto in H per ogni a essa vale anche per la relazione
1/a*H*a contenuto in H.
Le due inclusioni porgono la tesi
ciao
[/chessgame][/asvg][/spoiler]
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