Gruppi quoziente e classi resto

[jaxx1]

ragazzi mi trovo davanti al seguente esercizio

si consideri il gruppo $z14=z/14z$ degli interi modulo 14

mi chiede

a.trova i generatori di $z14$ (la risposta è i suoi generatori sono le classi degli interi da 1 a 13 che son primi con 14,e fin qui ci sto..

b.determinare gli elementi di ordine 7 di $z14$

c.trova i sottogruppi di $z14$

per la b e la c non ho idea di come procedere...che devo fare? mitico sergio se ci sei illuminami

[alberto861]

per Lagrange i possibili sottogruppi hanno ordine 1,2,7. Quello con un solo elemento è ${0}$. Hai che 2 e 7 sono coprimi e per il teorema cinese dei resti $Z_{14}=Z_{2*7}=Z_{2}\oplus Z_{7}$ per il teorema di classificazione dei gruppi abeliani finiti hai fatto. Ora $Z_{2}$ è dato dal gruppo $\{0,7\}$, mentre $Z_{7}$ da $\{0,2,4,6,8,10,12\}$. Ogni elemento del secondo gruppo ha ordine 7 quindi gli unici due sottoguppi sono questi in quanto gli elementi non citati poichè coprimi con 14 hanno ordine 14 e quindi puoi concludere anche senza usare il teorema di classificazione

[vict85]

"alberto86":per Lagrange i possibili sottogruppi hanno ordine 1,2,7. Quello con un solo elemento è ${0}$. Hai che 2 e 7 sono coprimi e per il teorema cinese dei resti $Z_{14}=Z_{2*7}=Z_{2}\oplus Z_{7}$ per il teorema di classificazione dei gruppi abeliani finiti hai fatto. Ora $Z_{2}$ è dato dal gruppo $\{0,7\}$, mentre $Z_{7}$ da $\{0,2,4,6,8,10,12\}$. Ogni elemento del secondo gruppo ha ordine 7 quindi gli unici due sottoguppi sono questi in quanto gli elementi non citati poichè coprimi con 14 hanno ordine 14 e quindi puoi concludere anche senza usare il teorema di classificazione

Non so perché ti rifai ad un mega teorema di classificazione (che senza dubbio lui/lei non ha neanche lontanamente visto) quando sai che un gruppo ciclico ha esattamente un sottogruppo per ogni divisore dell'ordine e questo è generato dall'elemento $n/d$. Di facile dimostrazione e suggerisco a jaxx di tentarci se non l'ha mai vista.
Quindi per questo teoremino, che credo chiunque faccia, i dividori di 14 sono 1,2,7 e ovviamente 14. I sottogruppi di ordine 1 e 14 sono il sottogruppo banale e il sottogruppo improprio. il sottogruppo di ordine 7 (e indice 2) è il sottogruppo generato da 2 e gli elementi di ordine 7 sono tutti gli elementi della forma 2n dove n è coprimo con 7, che è primo e quindi sono tutti i numeri pari (cioé 2,4,6,8,10,12). Il sottogruppo di ordine 2 (e indice 7) è <7> (che è l'unico elemento di ordine 2).

P.S: Tra l'altro io sapevo il teorema cinese dei resti fosse un teorema sugli anelli e non risulta minimamente indispensabile per lo studio né dei gruppi ciclici né dei gruppi abeliani. La struttura deriva infatti direttamente dalle basi della teoria del prodotto diretto interno tra gruppi.

P.S2: A scanso di equivoci ti sto solo suggerendo di considerare chi hai davanti quando dai una risposta ad un problema.

[franced]

Ho spostato il post in "Algebra".