Gruppi Policiclici

[maybe1]

Devo dimostrare che se \( G \) è policiclico e \( A\triangleleft G \) allora anche \( \frac{G}{A} \) è policiclico.
Io avevo pensato di fare così:
sia $\{ 1 }=G_0 \( \frac{G_{i+1}}{G_i} \) è ciclico \( \forall i\leq s-1 \) .
Come possibile serie di policiclicità di \( \frac{G}{A} \) ho considerato la serie
\( \frac{A}{A} <\frac{G_1A}{A} <...<\frac{G_sA}{A} =\frac{G}{A} \)
quindi dovrei dimostrare che
\( \frac{\frac{G_{i+1}A}{A} }{\frac{G{i}A}{A} } \) è ciclico
solo che non ci riesco.
Lo si può dimostrare oppure la serie da considerare per \( \frac{G}{A} \) è un' altra?
Grazie infinite a chi vorrà darmi un aiuto.

[Studente Anonimo]

[cf. con questo]

Se [tex]A,B,N[/tex] sono sottogruppi di [tex]G[/tex] con [tex]B \unlhd A[/tex] e [tex]N \unlhd G[/tex] e [tex]A/B[/tex] è ciclico allora [tex]AN/BN[/tex] è anche lui ciclico. Di più, è un quoziente di [tex]A/B[/tex].

Infatti da [tex]A \supseteq B[/tex] segue [tex]A = AB[/tex] e quindi dai teoremi di isomorfismo

[tex]AN/BN = ABN/BN \cong A/(A \cap BN)[/tex].

Siccome [tex]A \cap BN \supseteq B[/tex] il gruppo [tex]A/(A \cap BN)[/tex] è un quoziente di [tex]A/B[/tex], quindi [tex]AN/BN[/tex] è isomorfo a un quoziente di [tex]A/B[/tex]. Siccome i quozienti dei gruppi ciclici sono ciclici, [tex]AN/BN[/tex] è ciclico.

[maybe1]

Grazie infinite per l'aiuto! Finalmente ora è tutto chiaro.