Gruppi moltiplicativi e estensioni semplici
Salve a tutti, sto studiando crittografia all'università di Firenze e all'interno del corso ci sono molti richiami algebrici. avendo per seguito algebra con un professore diverso ed essendo passato un anno sono un po' arrugginito. ho i seguenti problemi:
1) perche dato F campo esiste sempre un'estensione K di F di grado n?
2) data K estensione di F semplice di grado n so che esiste un alemento a per cui K=F[a] ma non riesco a dimostrare che K*= gruppo moltiplicativo di K che so essere ciclico sia anche generato da a, non riesco cioè a dimostrare che K*=.
spero i possiate aiutare
grazie mille
1) perche dato F campo esiste sempre un'estensione K di F di grado n?
2) data K estensione di F semplice di grado n so che esiste un alemento a per cui K=F[a] ma non riesco a dimostrare che K*= gruppo moltiplicativo di K che so essere ciclico sia anche generato da a, non riesco cioè a dimostrare che K*=.
spero i possiate aiutare
grazie mille
Risposte
1) Non è vero, per esempio le estensioni finite di [tex]\mathbb{C}[/tex] hanno tutte grado 1 ([tex]\mathbb{C}[/tex] è algebricamente chiuso), e le estensioni finite di [tex]\mathbb{R}[/tex] hanno tutte grado 1 oppure 2. Se [tex]F=\mathbb{Q}[/tex] allora c'è il criterio di Eisenstein che ti aiuta, il polinomio [tex]X^n-2[/tex] è sempre irriducibile quindi i suoi zeri hanno (generano campi di) grado [tex]n[/tex] su [tex]\mathbb{Q}[/tex]. Se [tex]F[/tex] è un campo finito di [tex]q[/tex] elementi si dimostra che il campo di spezzamento di [tex]X^{q^n}-X[/tex] su [tex]F[/tex] ha grado [tex]n[/tex] su [tex]F[/tex] (e l'esistenza del campo di spezzamento di un polinomio (e la sua unicità a meno di isomorfismi) è un risultato classico).
2) Non è vero, per esempio prendi [tex]K = \mathbb{F}_5[X]/(X^2+2)[/tex], è un campo con [tex]5^2[/tex] elementi e si può scrivere come [tex]\mathbb{F}_5[\alpha][/tex] dove [tex]\alpha[/tex] è uno zero di [tex]X^2+2[/tex]. Il gruppo moltiplicativo ciclico [tex]K^{\ast}[/tex] non è generato da [tex]\alpha[/tex] perché un semplice conto dimostra che [tex]\alpha^8=1[/tex] mentre [tex]|K^{\ast}| = 25-1 = 24[/tex]. Esempi più semplici ma in qualche modo "degeneri" sono i seguenti: se [tex]a \in F[/tex] allora ovviamente [tex]F[a]=F[/tex] ma in generale non ogni elemento non nullo di [tex]F[/tex] genera [tex]F^{\ast}[/tex], ammesso che [tex]F^{\ast}[/tex] sia ciclico (per esempio [tex]F=F[1][/tex] ma [tex]1[/tex] non genera [tex]F^{\ast}[/tex] a meno che non sia [tex]|F|=2[/tex]). Tra parentesi, occhio, il gruppo moltiplicativo di un campo non è sempre ciclico, lo è se il campo è finito, per esempio il gruppo moltiplicativo [tex]\mathbb{Q}^{\ast}[/tex] non è ciclico.
2) Non è vero, per esempio prendi [tex]K = \mathbb{F}_5[X]/(X^2+2)[/tex], è un campo con [tex]5^2[/tex] elementi e si può scrivere come [tex]\mathbb{F}_5[\alpha][/tex] dove [tex]\alpha[/tex] è uno zero di [tex]X^2+2[/tex]. Il gruppo moltiplicativo ciclico [tex]K^{\ast}[/tex] non è generato da [tex]\alpha[/tex] perché un semplice conto dimostra che [tex]\alpha^8=1[/tex] mentre [tex]|K^{\ast}| = 25-1 = 24[/tex]. Esempi più semplici ma in qualche modo "degeneri" sono i seguenti: se [tex]a \in F[/tex] allora ovviamente [tex]F[a]=F[/tex] ma in generale non ogni elemento non nullo di [tex]F[/tex] genera [tex]F^{\ast}[/tex], ammesso che [tex]F^{\ast}[/tex] sia ciclico (per esempio [tex]F=F[1][/tex] ma [tex]1[/tex] non genera [tex]F^{\ast}[/tex] a meno che non sia [tex]|F|=2[/tex]). Tra parentesi, occhio, il gruppo moltiplicativo di un campo non è sempre ciclico, lo è se il campo è finito, per esempio il gruppo moltiplicativo [tex]\mathbb{Q}^{\ast}[/tex] non è ciclico.
hai perfettamente ragione sono stato io poco chiaro nelle domande e tutto quello che hai scritto è sacrosanto ed erano proprio i miei dubbi. Infatti rileggendo meglio i miei appunti di crittografia nello schema c'era l'assunzione iniziale che F fosse un campo finito. in questa ipotesi posso quindi concludere che non solo F* è ciclico ma anche che esiste un'estensione di grado n. continuo però ad avere dubbi sul secondo punto: mi torna benissimo quello che hai scritto però a questo punto ho davvero paura
di aver saltato qualcosa perché su F non nessun altra assunzione, grazie mille per la risposta
di aver saltato qualcosa perché su F non nessun altra assunzione, grazie mille per la risposta
Che io sappia non ci sono algoritmi intelligenti per trovare i generatori di [tex]F^{\ast}[/tex] dove [tex]F[/tex] è un campo finito.
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