Gruppi (metodi dimostrativi)
Allora, il seguente problema e' gia' apparso sul forum ed e' stato risolto almeno parzialmente, adesso non sono interessato alla risoluzione del problema, ma al metodo dimostrativo utilizzato nella mia dimostrazione...
Se e' giusto, sbagliato, orribile...
Allora il problema e' il seguente
Si dimostri che dato `N
`NaNb=Nc => N` normale in `G`
Dimostrazione.
Allora se l'ipotesi e' valida in generale, cio' vuol dire che
`NaNa^-1=Nc` per qualche `c in G`
e dunque al variare di `n in N` per qualche valore `n_1,n_2,n_3`
`n_1 a n_2 a^-1=n_3 c`
ora moltiplico a sinistra per l'inverso di `n_1` al variare di `n_1 in N`
`a n_2 a^-1=n_1^-1 n_3 c`
Osservo (e spero di osservare bene) che al variare di `n_1^-1 n_3 ` ottengo `N`
E dunque tornando alla notazione di prima
`aNa^-1=Nc`
Ora come osservato in un precedete post possiamo definire l'inverso anche per questa notazione
`(aN)^-1=N^(-1)a^(-1)=Na^(-1)`
E dunque
`aNa^-1=Nc`
`(aNa^-1)^(-1)=(Nc)^(-1)`
che utilizzando quanto ho detto
`(aNa^-1)^(-1)=aNa^-1=cN`
e duque ricaviamo
`aNa^-1=Nc`
`aNa^-1=cN`
e deduciamo
`Nc=cN`
E dato che si dimostra banalmente che se un laterale destro e' anche un laterale sinistro il sottogruppo e' normale, abbiamo la tesi.
Se e' giusto, sbagliato, orribile...
Allora il problema e' il seguente
Si dimostri che dato `N
`NaNb=Nc => N` normale in `G`
Dimostrazione.
Allora se l'ipotesi e' valida in generale, cio' vuol dire che
`NaNa^-1=Nc` per qualche `c in G`
e dunque al variare di `n in N` per qualche valore `n_1,n_2,n_3`
`n_1 a n_2 a^-1=n_3 c`
ora moltiplico a sinistra per l'inverso di `n_1` al variare di `n_1 in N`
`a n_2 a^-1=n_1^-1 n_3 c`
Osservo (e spero di osservare bene) che al variare di `n_1^-1 n_3 ` ottengo `N`
E dunque tornando alla notazione di prima
`aNa^-1=Nc`
Ora come osservato in un precedete post possiamo definire l'inverso anche per questa notazione
`(aN)^-1=N^(-1)a^(-1)=Na^(-1)`
E dunque
`aNa^-1=Nc`
`(aNa^-1)^(-1)=(Nc)^(-1)`
che utilizzando quanto ho detto
`(aNa^-1)^(-1)=aNa^-1=cN`
e duque ricaviamo
`aNa^-1=Nc`
`aNa^-1=cN`
e deduciamo
`Nc=cN`
E dato che si dimostra banalmente che se un laterale destro e' anche un laterale sinistro il sottogruppo e' normale, abbiamo la tesi.
Risposte
Mi sembra un po' incasinato, comunque hai sicuramente avuto una buona idea come inizio...
In realtà da qui non ti serve che $n_1^(-1)n_3$ sia uguale ad $N$ cosa che, come ti ho detto in passato, non è affatto completamente detta in quando $n_3$ dipende da $n_1$... Anche se sai per certo che $n_1^(-1) n_3 c \in Nc$ per ogni $n_1 \in N$.
D'altra parte questa uguaglianza vale per ogni $n_2 \in N$. Poni quindi $n_2 = 1$ e ricavi che $AA n_1, EE n_3$ tale che $1=n_1^(-1) n_3 c$ e quindi $n_1^(-1)n_3 = c^(-1)$ ma $n_1^(-1)n_3 \in N$ e quindi $c \in N$ e $Nc = N$, da cui ricaviamo $n_1^(-1) n_3 c \in N$ e quindi $AA n_2 \in N,\ AA a \in G\ an_2a^(-1) \in N$. Dato che questo vale per ogni $a$ e per ogni $n_2$ si può concludere che $N$ è normale.
"angus89":
Allora se l'ipotesi e' valida in generale, cio' vuol dire che
`NaNa^-1=Nc` per qualche `c in G`
e dunque al variare di `n in N` per qualche valore `n_1,n_2,n_3`
`n_1 a n_2 a^-1=n_3 c`
ora moltiplico a sinistra per l'inverso di `n_1` al variare di `n_1 in N`
`a n_2 a^-1=n_1^-1 n_3 c`
In realtà da qui non ti serve che $n_1^(-1)n_3$ sia uguale ad $N$ cosa che, come ti ho detto in passato, non è affatto completamente detta in quando $n_3$ dipende da $n_1$... Anche se sai per certo che $n_1^(-1) n_3 c \in Nc$ per ogni $n_1 \in N$.
D'altra parte questa uguaglianza vale per ogni $n_2 \in N$. Poni quindi $n_2 = 1$ e ricavi che $AA n_1, EE n_3$ tale che $1=n_1^(-1) n_3 c$ e quindi $n_1^(-1)n_3 = c^(-1)$ ma $n_1^(-1)n_3 \in N$ e quindi $c \in N$ e $Nc = N$, da cui ricaviamo $n_1^(-1) n_3 c \in N$ e quindi $AA n_2 \in N,\ AA a \in G\ an_2a^(-1) \in N$. Dato che questo vale per ogni $a$ e per ogni $n_2$ si può concludere che $N$ è normale.
questa dimostrazione si che mi convince...finalmente... 
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