Gruppi Liberi
Proseguendo il discorso iniziato qui circa i gruppi liberi volevo chiedere dei ragguagli:
Definizione: $F$ è un gruppo libero su $X$, sottoinsieme di $F$, se ogni applicazione $f$ da $X$ ad un gruppo $G$ si estende univocamente a un omomorfismo $\phi : F \to G$.
Suppongo che il sottoinsieme $X$ contenga l'alfabeto sul quale costruire le parole di $F$. Se $F$ è libero non ho "vincoli" su come costruire le mie parole su $X$ e $X^(-1)$. Non riesco a capire però come possano essere fatte queste applicazioni $f$. Associano da ogni "lettera" del mio alfabeto cosa di $G$?
Inoltre gli elementi di $X$ sono i generatori del gruppo libero?
Assodata la definizione di gruppo libero, considero l'insieme delle relazioni $R$ e il gruppo libero $F$ su $X$. Allora da quanto ho capito $G= \cong F//R$, cioè il gruppo presentato è un quoziente del gruppo libero (cioè $R$ ne funge da sottogruppo normale!), ove l'isomorfismo è realizzato mediante l'omomorfismo $phi$ della definizione. Giusto?
Pertanto il nucleo del mio omomorfismo $phi$ è l'insieme delle relazioni $R$ che stabiliscono la presentazione del gruppo $G$. Ma come posso accertarmi che esse siano minimali?
Grazie mille
Definizione: $F$ è un gruppo libero su $X$, sottoinsieme di $F$, se ogni applicazione $f$ da $X$ ad un gruppo $G$ si estende univocamente a un omomorfismo $\phi : F \to G$.
Suppongo che il sottoinsieme $X$ contenga l'alfabeto sul quale costruire le parole di $F$. Se $F$ è libero non ho "vincoli" su come costruire le mie parole su $X$ e $X^(-1)$. Non riesco a capire però come possano essere fatte queste applicazioni $f$. Associano da ogni "lettera" del mio alfabeto cosa di $G$?
Inoltre gli elementi di $X$ sono i generatori del gruppo libero?
Assodata la definizione di gruppo libero, considero l'insieme delle relazioni $R$ e il gruppo libero $F$ su $X$. Allora da quanto ho capito $G=
Pertanto il nucleo del mio omomorfismo $phi$ è l'insieme delle relazioni $R$ che stabiliscono la presentazione del gruppo $G$. Ma come posso accertarmi che esse siano minimali?
Grazie mille
Risposte
Penso che tu abbia già dato un'occhiata qui.
Un generico elemento del gruppo libero generato da [tex]X[/tex] sarà un generico prodotto di simboli [tex]x[/tex] e [tex]x^{-1}[/tex] dove [tex]x \in X[/tex] e i simboli [tex]x^{-1}[/tex] stanno in una copia fissata [tex]X^{\ast}[/tex] di [tex]X[/tex]. Il vincolo a cui sono soggetti è che [tex]x x^{-1}[/tex] è la parola vuota.
Dato un qualsiasi gruppo n-generato G con generatori [tex]g_1,...,g_n[/tex], se prendo il gruppo libero [tex]F_n[/tex] su n generatori [tex]x_1,...,x_n[/tex] ho un'unico omomorfismo [tex]F_n \to G[/tex] che manda [tex]x_i[/tex] in [tex]g_i[/tex] per ogni [tex]i=1,...,n[/tex]. Naturalmente si tratta della funzione che manda una generica espressione [tex]E(x_1,...,x_n)[/tex] nell'espressione [tex]E(g_1,...,g_n)[/tex].
Detto K il nucleo di tale omomorfismo si ha naturalmente che [tex]F_n/K \cong G[/tex]. Quindi gli elementi di K fungono da "relatori", danno restrizioni sulle operazioni tra i generatori fissati. Da questo uno ottiene una presentazione scrivendo [tex]G=\langle x_1,...,x_n\ |\ K \rangle[/tex], dove per K si intende che si pone uguale a 1 ogni elemento dentro K.
Esempio 1. [tex]\mathbb{Z}[/tex] non è altro che il gruppo libero con un generatore.
Esempio 2. Il gruppo ciclico di ordine [tex]n[/tex] è il quoziente di [tex]F_1 = \langle x_1 \rangle \cong \mathbb{Z}[/tex] col sottogruppo normale generato da [tex]x^n[/tex] (che poi coincide in questo caso col sottogruppo generato da [tex]x^n[/tex]).
Esempio 3. Il gruppo diedrale [tex]D_{2n}[/tex] di ordine 2n è il quoziente [tex]F_2/K[/tex] dove [tex]K[/tex] è il sottogruppo normale generato da [tex]{x_1}^n[/tex] e [tex]{x_2}^{-1}x_1x_2x_1[/tex].
Esempio 4. Il gruppo simmetrico [tex]S_n[/tex] ammette una presentazione tipo Coxeter. Per questo e altri approfondimenti vedi qui.
Un generico elemento del gruppo libero generato da [tex]X[/tex] sarà un generico prodotto di simboli [tex]x[/tex] e [tex]x^{-1}[/tex] dove [tex]x \in X[/tex] e i simboli [tex]x^{-1}[/tex] stanno in una copia fissata [tex]X^{\ast}[/tex] di [tex]X[/tex]. Il vincolo a cui sono soggetti è che [tex]x x^{-1}[/tex] è la parola vuota.
Dato un qualsiasi gruppo n-generato G con generatori [tex]g_1,...,g_n[/tex], se prendo il gruppo libero [tex]F_n[/tex] su n generatori [tex]x_1,...,x_n[/tex] ho un'unico omomorfismo [tex]F_n \to G[/tex] che manda [tex]x_i[/tex] in [tex]g_i[/tex] per ogni [tex]i=1,...,n[/tex]. Naturalmente si tratta della funzione che manda una generica espressione [tex]E(x_1,...,x_n)[/tex] nell'espressione [tex]E(g_1,...,g_n)[/tex].
Detto K il nucleo di tale omomorfismo si ha naturalmente che [tex]F_n/K \cong G[/tex]. Quindi gli elementi di K fungono da "relatori", danno restrizioni sulle operazioni tra i generatori fissati. Da questo uno ottiene una presentazione scrivendo [tex]G=\langle x_1,...,x_n\ |\ K \rangle[/tex], dove per K si intende che si pone uguale a 1 ogni elemento dentro K.
Esempio 1. [tex]\mathbb{Z}[/tex] non è altro che il gruppo libero con un generatore.
Esempio 2. Il gruppo ciclico di ordine [tex]n[/tex] è il quoziente di [tex]F_1 = \langle x_1 \rangle \cong \mathbb{Z}[/tex] col sottogruppo normale generato da [tex]x^n[/tex] (che poi coincide in questo caso col sottogruppo generato da [tex]x^n[/tex]).
Esempio 3. Il gruppo diedrale [tex]D_{2n}[/tex] di ordine 2n è il quoziente [tex]F_2/K[/tex] dove [tex]K[/tex] è il sottogruppo normale generato da [tex]{x_1}^n[/tex] e [tex]{x_2}^{-1}x_1x_2x_1[/tex].
Esempio 4. Il gruppo simmetrico [tex]S_n[/tex] ammette una presentazione tipo Coxeter. Per questo e altri approfondimenti vedi qui.
"Martino":
Penso che tu abbia già dato un'occhiata qui.
Un generico elemento del gruppo libero generato da [tex]X[/tex] sarà un generico prodotto di simboli [tex]x[/tex] e [tex]x^{-1}[/tex] dove [tex]x \in X[/tex] e i simboli [tex]x^{-1}[/tex] stanno in una copia fissata [tex]X^{\ast}[/tex] di [tex]X[/tex]. Il vincolo a cui sono soggetti è che [tex]x x^{-1}[/tex] è la parola vuota.
Quindi se non ho capito male, tra $X$ e $X^{\ast}$ c'è una corrispondenza biunivoca ove ad $x$ si associa $x^(-1)$ in modo da ottenere un insieme con tutti gli inversi di $x in X$.
Dato un qualsiasi gruppo n-generato G con generatori [tex]g_1,...,g_n[/tex], se prendo il gruppo libero [tex]F_n[/tex] su n generatori [tex]x_1,...,x_n[/tex] ho un'unico omomorfismo [tex]F_n \to G[/tex] che manda [tex]x_i[/tex] in [tex]g_i[/tex] per ogni [tex]i=1,...,n[/tex]. Naturalmente si tratta della funzione che manda una generica espressione [tex]E(x_1,...,x_n)[/tex] nell'espressione [tex]E(g_1,...,g_n)[/tex].
Credo che tutto ciò sia chiaro. La cosa che mi incuriosiva della definizione (che poi è la parte meno chiara) è quando tira in ballo una generica funzione $f : X \to G$, ma mi pare di aver capito che si opera nella stessa maniera, cioè associa i generatori di $F$, ossia gli elementi di $X$, ai generatori di $G$.
E' giusto?
Detto K il nucleo di tale omomorfismo si ha naturalmente che [tex]F_n/K \cong G[/tex]. Quindi gli elementi di K fungono da "relatori", danno restrizioni sulle operazioni tra i generatori fissati. Da questo uno ottiene una relazione scrivendo [tex]G=\langle x_1,...,x_n\ |\ K \rangle[/tex], dove per K si intende che si pone uguale a 1 ogni elemento dentro K.
Sì anche questa cosa mi è chiara. In realtà, come mi hai chiarito con gli esempi, trovo molto "intuitivo", avendo delle relazioni $R$, passare al gruppo presentato, quoziente di quello libero, mentre mi vien difficile immaginare come avendo il gruppo libero e l'omomorfismo determinare $R$, ma magari è più semplice di quel che immagino, si tratterebbe infondo di capire quali parole mi restituiscono $1_G$
Grazie mille
@Mistake eccoti dei testi di teoria combinatoria dei gruppo ove puoi trovare tutto su gruppi liberi e loro presentazioni:
I) Adjan, The Burnside problem and identities groups;
II) Lyndon and Schupp, Combinatorial group theory;
III) Magnus and Karrass and Solitar, Combinatorial group theory;
IV) Neumann, Varietis of groups;
invece, ecco due testi di "applicazioni" alla geometria ed alla topologia di tali concetti:
I) Collins and Grigoruch and Kurchanov and Zienschang, Combinatorial group theory applications to geometry;
II) Stillwell, Classical topology and combinatorial group theory.
EDIT: Proprio tutto NO! Però...
I) Adjan, The Burnside problem and identities groups;
II) Lyndon and Schupp, Combinatorial group theory;
III) Magnus and Karrass and Solitar, Combinatorial group theory;
IV) Neumann, Varietis of groups;
invece, ecco due testi di "applicazioni" alla geometria ed alla topologia di tali concetti:
I) Collins and Grigoruch and Kurchanov and Zienschang, Combinatorial group theory applications to geometry;
II) Stillwell, Classical topology and combinatorial group theory.
EDIT: Proprio tutto NO! Però...
Grazie mille j18eos, proverò a vedere di recuperarne qualcuno!
"mistake89":
Sì anche questa cosa mi è chiara. In realtà, come mi hai chiarito con gli esempi, trovo molto "intuitivo", avendo delle relazioni $R$, passare al gruppo presentato, quoziente di quello libero, mentre mi vien difficile immaginare come avendo il gruppo libero e l'omomorfismo determinare $R$, ma magari è più semplice di quel che immagino, si tratterebbe infondo di capire quali parole mi restituiscono $1_G$
Grazie mille
A parte che trovare le parole che restituiscono $1_G$ non è un processo così facile e necessariamente sempre possibile sei sicuro che un insieme di relazioni minimali esista sempre? Tieni conto che non è vero che un gruppo possiede sempre insiemi di generatori minimali e che chiedere se esiste un insieme minimale di relazioni consiste nel dire che il sottogruppo normale generato dalle relazioni possiede un insieme di generatori minimale. Inoltre tu stai ignorando il fatto che l'insieme R non è univocamente determinato dal kernel dell'omomorfismo. In pratica qualsiasi insieme di relazioni che hanno come chiusura normale il kernel di quell'omomorfismo possono essere utilizzati per la presentazione.
Spesso ritengo che le presentazioni siano trovate in modo empirico più che partendo dai gruppi liberi.
Quindi come immaginavo non è un processo semplice. Grazie per la precisazione Vict.
"j18eos":
@Mistake eccoti dei testi di teoria combinatoria dei gruppo ove puoi trovare tutto su gruppi liberi e loro presentazioni:
I) Adjan, The Burnside problem and identities groups;
II) Lyndon and Schupp, Combinatorial group theory;
III) Magnus and Karrass and Solitar, Combinatorial group theory;
IV) Neumann, Varietis of groups;
invece, ecco due testi di "applicazioni" alla geometria ed alla topologia di tali concetti:
I) Collins and Grigoruch and Kurchanov and Zienschang, Combinatorial group theory applications to geometry;
II) Stillwell, Classical topology and combinatorial group theory.
EDIT: Proprio tutto NO! Però...
Grazie... li conoscevo quasi tutti ma qualcuno mi mancava. Una sola precisazione: Il primo dei due libri sulle applicazioni è la ristampa del volume algebra VII dell'enciclopedia delle scienze matematiche della springer che ha per editori Parshin e Shafarevich. E' possibile quindi che in biblioteca possa esserci questo e non quello nuovo.
Per correttezza i primi 4 li ho presi dalla bibliografia da un corso di teoria dei gruppi che ho seguito, gli ultimi 2 non ricordo e dell'ultimo ho voluto riportare gli autori e non gli editori; comunque sia non li ho mai studiati, ho altro per la testa.
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