Gruppi isomorfi
Voglio mostrare che un gruppo (di cui ho la presentazione) è isomorfo ad un altro, nel caso specifico
$G = \cong S_4$ dove R è una sfilza di relazioni che non sto a scrivere.
Sta di fatto che voglio costruire un omomorfismo e quindi dedurre che è un isom.
Ho trovato che G ha due sottogruppi normali, $$ e $$ di ordine rispettivamente 4 e 12 (ho solo dimostrato che ne ha al max 12).
Come scrivo l'omomorfismo? Basta che indico le immagini dei sottogruppi di G? o basta addirittura le immagini dei sottogruppi normali di G?
E per dedurre che è un isomorfismo, c è un teorema che mi dice se l'omomorf manda sottogruppi normali in normali è un isomorfismo? (ovviamente supponendolo suriettivo, cioè tutti i normali del secondo gruppo vengono colpiti...)
$G =
Sta di fatto che voglio costruire un omomorfismo e quindi dedurre che è un isom.
Ho trovato che G ha due sottogruppi normali, $
Come scrivo l'omomorfismo? Basta che indico le immagini dei sottogruppi di G? o basta addirittura le immagini dei sottogruppi normali di G?
E per dedurre che è un isomorfismo, c è un teorema che mi dice se l'omomorf manda sottogruppi normali in normali è un isomorfismo? (ovviamente supponendolo suriettivo, cioè tutti i normali del secondo gruppo vengono colpiti...)
Risposte
oppure..
vale il seguente teorema?
se l'omomorfismo manda generatori in generatori (e mantiene gli ordini) allora è un isomorfismo?
TEO: questo dovrebbe valere:
Se G e H hanno generatori che soddisfano le stesse relazioni (nella presentazione) allora l'omomorfismo che manda generatori di G in quelli "analoghi" di H allora è isomorfismo.
vale il seguente teorema?
se l'omomorfismo manda generatori in generatori (e mantiene gli ordini) allora è un isomorfismo?
TEO: questo dovrebbe valere:
Se G e H hanno generatori che soddisfano le stesse relazioni (nella presentazione) allora l'omomorfismo che manda generatori di G in quelli "analoghi" di H allora è isomorfismo.
l'ultima teorema e' ovviamente vero. Il primo non credo, perche' ci potrebbero essere delle relazioni "miste", cioe' che riguardano piu' generatori contemporaneamente che non sono soddisfatte. Anche il "teorema" che un omo che manda sottogruppi normali in sgr normali e' un iso, e' chiaramente falso: un omo manda sempre sgr normali in sgr normali!
è vero anche il viceversa, cioè una mappa che manda sottogruppi normali in sottogruppi normali è un omomorfismo?
No! Prendi un gruppo semplice e una bijezione di $G$ in se'.
mm..
quindi per forza l unica strada è quella del confronto di presentazioni? cioè trovo generatori di $S_4$ che sono $(12), (123), (13)(24), (14)(23) $ ad esempio, (giusto?)
A questo punto mando $x,y,t$ in elementi di ordine 2 (a caso come voglio?) e $z$ in $(123)$. E ottengo un omomorfismo.
Questo è suriettivo perchè tutti i generatori di $S_4$ sono colpiti ed è iniettivo perchè $ker=id$ ( per forza, perchè mando generatori in generatori).
giusto?
quindi per forza l unica strada è quella del confronto di presentazioni? cioè trovo generatori di $S_4$ che sono $(12), (123), (13)(24), (14)(23) $ ad esempio, (giusto?)
A questo punto mando $x,y,t$ in elementi di ordine 2 (a caso come voglio?) e $z$ in $(123)$. E ottengo un omomorfismo.
Questo è suriettivo perchè tutti i generatori di $S_4$ sono colpiti ed è iniettivo perchè $ker=id$ ( per forza, perchè mando generatori in generatori).
giusto?
Per una descrizione più potente hai bisogno di usare la teoria dei gruppi liberi.
In ogni caso è un problema molto difficile quello di capire se due gruppi con una certa presentazione sono isomorfi e, di per se, non proprio computazionalmente comodo. Certo, va comunque tenuto conto che il problema degli isomorfismi non è risolvibile per alcuni gruppi (vedi qui ). Tra l'altro sono ancora molte le classi di gruppi di cui non si sa neanche se il problema risulta risolvibile.
Per gruppi semplici penso che la soluzione più comoda sia usare le trasformazioni di Tietze (vedi qui).
In ogni caso è un problema molto difficile quello di capire se due gruppi con una certa presentazione sono isomorfi e, di per se, non proprio computazionalmente comodo. Certo, va comunque tenuto conto che il problema degli isomorfismi non è risolvibile per alcuni gruppi (vedi qui ). Tra l'altro sono ancora molte le classi di gruppi di cui non si sa neanche se il problema risulta risolvibile.
Per gruppi semplici penso che la soluzione più comoda sia usare le trasformazioni di Tietze (vedi qui).
Tanto per metterti in crisi... questa è una mappa che mappa generatori in generatori di gruppi non isomorfi...
\(\displaystyle G = \langle a,b \mid ab = ba, a^2=1, b^2=1 \rangle \)
\(\displaystyle G' = \langle a,b \mid ab^3 = 1, b^2=1 \rangle \)
Manda \(\displaystyle a \) in \(\displaystyle a \) e \(\displaystyle b \) in \(\displaystyle b \) e avrai in omomorfismo. Ma in \(\displaystyle G' \), \(\displaystyle a \) e \(\displaystyle b \) rappresentano lo stesso elemento e \(\displaystyle G \) è infinito.
Per un esempio meno "truccato" prova a considerare questo:
\(\displaystyle G = \langle a,b \mid ab = ba, a^2=1, b^2=1 \rangle \)
\(\displaystyle G' = \langle a,b \mid ab = ba, a^2=1, b^2=1, (ab)^2=1 \rangle \)
con la funzione "ovvia" tra i due. In questo caso si ha un omomorfismo e non un isomorfismo.
Per concludere ti mostro un caso in cui non si ha neanche un omomorfismo.
\(\displaystyle G = \langle a \mid b^2=1 \rangle \)
\(\displaystyle G' = \langle a \mid b^3=1 \rangle \)
Se io mando \(\displaystyle a \) in \(\displaystyle a \) non ho neanche un omomorfismo tra i due.
\(\displaystyle G = \langle a,b \mid ab = ba, a^2=1, b^2=1 \rangle \)
\(\displaystyle G' = \langle a,b \mid ab^3 = 1, b^2=1 \rangle \)
Manda \(\displaystyle a \) in \(\displaystyle a \) e \(\displaystyle b \) in \(\displaystyle b \) e avrai in omomorfismo. Ma in \(\displaystyle G' \), \(\displaystyle a \) e \(\displaystyle b \) rappresentano lo stesso elemento e \(\displaystyle G \) è infinito.
Per un esempio meno "truccato" prova a considerare questo:
\(\displaystyle G = \langle a,b \mid ab = ba, a^2=1, b^2=1 \rangle \)
\(\displaystyle G' = \langle a,b \mid ab = ba, a^2=1, b^2=1, (ab)^2=1 \rangle \)
con la funzione "ovvia" tra i due. In questo caso si ha un omomorfismo e non un isomorfismo.
Per concludere ti mostro un caso in cui non si ha neanche un omomorfismo.
\(\displaystyle G = \langle a \mid b^2=1 \rangle \)
\(\displaystyle G' = \langle a \mid b^3=1 \rangle \)
Se io mando \(\displaystyle a \) in \(\displaystyle a \) non ho neanche un omomorfismo tra i due.
Negli esempi che hai fatto però i generatori non hanno lo stesso ordine dei generatori delle immagini...
Se mandi generatori con lo stesso ordine in generatori con lo stesso ordine e tutti vengono colpiti in teoria funziona....
se sono abeliani funziona di sicuro.. forse basta che i sottogruppi abeliani vengano mandati in sottogruppi abeliani..
altrimenti secondo me se soddisfano almeno qualche relazione allora sono isomorfi....
mah... sono solo idee
Se mandi generatori con lo stesso ordine in generatori con lo stesso ordine e tutti vengono colpiti in teoria funziona....
se sono abeliani funziona di sicuro.. forse basta che i sottogruppi abeliani vengano mandati in sottogruppi abeliani..
altrimenti secondo me se soddisfano almeno qualche relazione allora sono isomorfi....
mah... sono solo idee
Beh, due gruppi definiti dalla stessa presentazione sono necessariamente isomorfi. In pratica stai dicendo quello.
Tra l'altro nel caso 2 i generatori HANNO lo stesso ordine. Sono i prodotti incrociati che non hanno lo stesso ordine. Il caso abeliano è banale (i gruppi abeliani sono \(\mathbb{Z}\)-moduli).
Ti inviterei a leggere cos'é il problema degli isomorfismi prima di proseguire con ipotesi a caso. Esistono vari modi in cui puoi dimostrare che due presentazioni particolari sono isomorfe. Il fatto però è che non esiste nessun metodo che valga per ogni coppia di presentazioni isomorfe.
Tra l'altro nel caso 2 i generatori HANNO lo stesso ordine. Sono i prodotti incrociati che non hanno lo stesso ordine. Il caso abeliano è banale (i gruppi abeliani sono \(\mathbb{Z}\)-moduli).
Ti inviterei a leggere cos'é il problema degli isomorfismi prima di proseguire con ipotesi a caso. Esistono vari modi in cui puoi dimostrare che due presentazioni particolari sono isomorfe. Il fatto però è che non esiste nessun metodo che valga per ogni coppia di presentazioni isomorfe.
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