Gruppi Generali Lineari (GL)
Salve a tutti
Ho questo esercizio:
Nel grupp moltiplictivo $GL_2(C)$ si consideri il sottoinsieme
$G ={((w^i,0),(0,w^(3i))); ((0,w^i),(w^(3i),0)); | i in Z}$
1) Verificare che $G$ è un sottogruppo di $GL_2(C)$ e determinare l'ordine.
2) Verificare che $H ={((w^i,0),(0,w^(3i))); | i in Z}$ è un sottogruppo normale di $G$.
Per quanto riguarda il primo punto ho semplicemente moltiplicato i due elementi tra di loro per le quattro combinazioni possibili ottenendo sempre un elemento appartenente all'insieme, infine la matrice identità appartiene all'insieme e quindi $G$ è un gruppo. L'ordine non so trovarlo ne ho trovato esempi.
Per il punto 2 ho notato se che moltiplico l'elemento del sottogruppo $H$ per il $2$ elemento del gruppo $G$, non mi coincidono i laterali destri e sinistri, e quindi non sarebbe normale, tuttavia il fatto che mi chieda di verificarlo presuppone che $H$ sia normale.
Suggerimenti?
PS
Non c'è molto sui gruppi $GL$.
Ho questo esercizio:
Nel grupp moltiplictivo $GL_2(C)$ si consideri il sottoinsieme
$G ={((w^i,0),(0,w^(3i))); ((0,w^i),(w^(3i),0)); | i in Z}$
1) Verificare che $G$ è un sottogruppo di $GL_2(C)$ e determinare l'ordine.
2) Verificare che $H ={((w^i,0),(0,w^(3i))); | i in Z}$ è un sottogruppo normale di $G$.
Per quanto riguarda il primo punto ho semplicemente moltiplicato i due elementi tra di loro per le quattro combinazioni possibili ottenendo sempre un elemento appartenente all'insieme, infine la matrice identità appartiene all'insieme e quindi $G$ è un gruppo. L'ordine non so trovarlo ne ho trovato esempi.
Per il punto 2 ho notato se che moltiplico l'elemento del sottogruppo $H$ per il $2$ elemento del gruppo $G$, non mi coincidono i laterali destri e sinistri, e quindi non sarebbe normale, tuttavia il fatto che mi chieda di verificarlo presuppone che $H$ sia normale.
Suggerimenti?
PS
Non c'è molto sui gruppi $GL$.
Risposte
Da alcuni esempi trovati su i gruppi $GL$ ho notato che per mostrare la normalità di un sottogruppo si considerano solo elementi appartenenti a quel sottogruppo e si vede se commutano, una soluzione questa che mi sembra si discosti dalla definizione di sottogruppo normale. Se fosse così chiaramente $H$ è normale in $G$.
Per quanto riguarda il centro del gruppo $G$, vista la sua definzione, mi sembra che si possa identificare con la matrice identità, essendo quest'ultima l'unica che commuta con tutti gli elementi di $G$.
L'ordine invece di $G$ dovrebbe essere infinito.
Per quanto riguarda il centro del gruppo $G$, vista la sua definzione, mi sembra che si possa identificare con la matrice identità, essendo quest'ultima l'unica che commuta con tutti gli elementi di $G$.
L'ordine invece di $G$ dovrebbe essere infinito.
Con [tex]C[/tex] intendi il campo dei complessi?
Cosa e' [tex]w[/tex]?
Cosa e' [tex]w[/tex]?
"Martino":
Con [tex]C[/tex] intendi il campo dei complessi?
Cosa e' [tex]w[/tex]?
Si $C$ è il campo dei complessi. Mentre $w$ è la rdice ottava dell'unità.
Allora l'ordine dovrebbe essere $(8^2 -1)(8^2 -8)$
Perche' non hai detto subito cosa era [tex]w[/tex]? 
[tex]\left( \begin{array}{cc} w^j & 0 \\ 0 & w^{3j} \end{array} \right)^{-1} \cdot \left( \begin{array}{cc} w^i & 0 \\ 0 & w^{3i} \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{cc} w^j & 0 \\ 0 & w^{3j} \end{array} \right)[/tex],
[tex]\left( \begin{array}{cc} 0 & w^j \\ w^{3j} & 0 \end{array} \right)^{-1} \cdot \left( \begin{array}{cc} w^i & 0 \\ 0 & w^{3i} \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{cc} 0 & w^j \\ w^{3j} & 0 \end{array} \right)[/tex]
appartengono ad [tex]H[/tex].
"emanuele78":Per quanto riguarda l'ordine di G devi scegliere in entrambi i casi l'elemento [tex]w^i[/tex]. Quante scelte hai per [tex]w^i[/tex]?
$G ={((w^i,0),(0,w^(3i))); ((0,w^i),(w^(3i),0)); | i in Z}$
1) Verificare che $G$ è un sottogruppo di $GL_2(C)$ e determinare l'ordine.
2) Verificare che $H ={((w^i,0),(0,w^(3i))); | i in Z}$ è un sottogruppo normale di $G$.
Per il punto 2 ho notato se che moltiplico l'elemento del sottogruppo $H$ per il $2$ elemento del gruppo $G$, non mi coincidono i laterali destri e sinistri, e quindi non sarebbe normale, tuttavia il fatto che mi chieda di verificarlo presuppone che $H$ sia normale.Per il punto 2 devi prendere due interi [tex]i,j[/tex] e verificare che gli elementi
[tex]\left( \begin{array}{cc} w^j & 0 \\ 0 & w^{3j} \end{array} \right)^{-1} \cdot \left( \begin{array}{cc} w^i & 0 \\ 0 & w^{3i} \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{cc} w^j & 0 \\ 0 & w^{3j} \end{array} \right)[/tex],
[tex]\left( \begin{array}{cc} 0 & w^j \\ w^{3j} & 0 \end{array} \right)^{-1} \cdot \left( \begin{array}{cc} w^i & 0 \\ 0 & w^{3i} \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{cc} 0 & w^j \\ w^{3j} & 0 \end{array} \right)[/tex]
appartengono ad [tex]H[/tex].
"Martino":Per quanto riguarda l'ordine di G devi scegliere in entrambi i casi l'elemento [tex]w^i[/tex]. Quante scelte hai per [tex]w^i[/tex]?
Perche' non hai detto subito cosa era [tex]w[/tex]?
1) Verificare che $G$ è un sottogruppo di $GL_2(C)$ e determinare l'ordine.
2) Verificare che $H ={((w^i,0),(0,w^(3i))); | i in Z}$ è un sottogruppo normale di $G$.
Per il punto 2 ho notato se che moltiplico l'elemento del sottogruppo $H$ per il $2$ elemento del gruppo $G$, non mi coincidono i laterali destri e sinistri, e quindi non sarebbe normale, tuttavia il fatto che mi chieda di verificarlo presuppone che $H$ sia normale.Per il punto 2 devi prendere due interi [tex]i,j[/tex] e verificare che gli elementi
[tex]\left( \begin{array}{cc} w^j & 0 \\ 0 & w^{3j} \end{array} \right)^{-1} \cdot \left( \begin{array}{cc} w^i & 0 \\ 0 & w^{3i} \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{cc} w^j & 0 \\ 0 & w^{3j} \end{array} \right)[/tex],
[tex]\left( \begin{array}{cc} 0 & w^j \\ w^{3j} & 0 \end{array} \right)^{-1} \cdot \left( \begin{array}{cc} w^i & 0 \\ 0 & w^{3i} \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{cc} 0 & w^j \\ w^{3j} & 0 \end{array} \right)[/tex]
appartengono ad [tex]H[/tex].[/quote]
Per quanto riguarda $w^i$ le scelte che ho sono $8$ essendo $8$ le radici dell'unità. Ma non riesco a trovare un metodo universale per calcolare l'ordine di un gruppo GL.
Per quanto riguarda il fatto che $G$ sia un sottogruppo, ho preso le inverse di ambdue gli elementi (così come da te consigliato) ed ho verificato che ogni elemento per la sua inversa appartiene a $G$, e anche che ogni elemento per l'inverso dell'altro è contenuto in $G$. In modo da esplorare ogni possibilità.
Il centro del grupp $GL_2$ credo invece sia la matrice identità.
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