Gruppi fondamentali
Qual è il gruppo fondamentale della bottiglia di Klein? e del nastro di Moebius?
Qual è la definizione, oppure una costruzione, della bottiglia di Klein e del nastro di Moebius?
Qual è la definizione, oppure una costruzione, della bottiglia di Klein e del nastro di Moebius?
Risposte
Un po' di link:
http://it.wikipedia.org/wiki/Nastro_di_M%C3%B6bius
http://it.wikipedia.org/wiki/Bottiglia_di_Klein
http://it.wikipedia.org/wiki/Nastro_di_M%C3%B6bius
http://it.wikipedia.org/wiki/Bottiglia_di_Klein
Se non sbaglio il nastro di Moebius ha come retratto di deformazione una circonferenza, quindi il suo gruppo fondamentale dovrebbe essere Z.
Platone
Platone
anche io stavo pensando a quello infatti...
mentre per la bottiglia di Klein mi sembra di aver trovato una dimostrazione
che dà il prodotto semidiretto $Z\times_{\varphi}Z$... semmai la metto dopo
mentre per la bottiglia di Klein mi sembra di aver trovato una dimostrazione
che dà il prodotto semidiretto $Z\times_{\varphi}Z$... semmai la metto dopo
A proposito di bottiglia di Klein, se c'è un topologo tra voi gli consiglio caldamente di comprarsi un bel modello in vetro da qui: http://www.kleinbottle.com/
Anche io ne ho presa una anni fa, è veramente carina, fra l'altro mi è arrivata in meno di una settimana, per posta aerea dagli USA, con tanto di varie spiegazioni di Topologia e Geometria in spazi a 4 dimensioni.
Anche io ne ho presa una anni fa, è veramente carina, fra l'altro mi è arrivata in meno di una settimana, per posta aerea dagli USA, con tanto di varie spiegazioni di Topologia e Geometria in spazi a 4 dimensioni.
"Luca.Lussardi":
A proposito di bottiglia di Klein, se c'è un topologo tra voi gli consiglio caldamente di comprarsi un bel modello in vetro da qui: http://www.kleinbottle.com/
Anche io ne ho presa una anni fa, è veramente carina, fra l'altro mi è arrivata in meno di una settimana, per posta aerea dagli USA, con tanto di varie spiegazioni di Topologia e Geometria in spazi a 4 dimensioni.
Pur non essendo un topologo, su consiglio di Luca tempo fa l'ho acquistata anche io...è fantastica!
Ciao!
"Luca.Lussardi":
A proposito di bottiglia di Klein, se c'è un topologo tra voi gli consiglio caldamente di comprarsi un bel modello in vetro da qui: http://www.kleinbottle.com/
Che delusione, la bottiglia è bucata
Ah l'hai comprata Leonardo? Mi sembrava di aver già detto a qualcuno questa cosa, ma non ricordavo più a chi...
Come promesso (magari non gliene frega niente a nessuno..) metto la mia soluzione
La bottiglia di Klein può essere costruita quozientando $R^2$ col sottogruppo del gruppo degli omeomorfismi generato da $a(x,y)=(x+1,-y)$ e $b(x,y)=(x,y+1)$. E tale gruppo, essendo $bab=a$ è il prodotto semidiretto suddetto. Ora è noto che se $X$ è uno spazio topologico connesso e $G$ un sgr di $Omeo(X)$ che agisce in modo propriamente discontinuo ($forallx\inX$ esiste un suo intorno aperto $U$ tale che $g(U)\capU=\emptyset$, $\forallg\ne id_X$)su $X$ , allora il gruppo fondamentale del quoziente è isomorfo a $G$. Osservando che il sgr definito agisce in modo discontinuo (manda palle di raggio <1 da tutt'altra parte!) si ha la tesi.
La bottiglia di Klein può essere costruita quozientando $R^2$ col sottogruppo del gruppo degli omeomorfismi generato da $a(x,y)=(x+1,-y)$ e $b(x,y)=(x,y+1)$. E tale gruppo, essendo $bab=a$ è il prodotto semidiretto suddetto. Ora è noto che se $X$ è uno spazio topologico connesso e $G$ un sgr di $Omeo(X)$ che agisce in modo propriamente discontinuo ($forallx\inX$ esiste un suo intorno aperto $U$ tale che $g(U)\capU=\emptyset$, $\forallg\ne id_X$)su $X$ , allora il gruppo fondamentale del quoziente è isomorfo a $G$. Osservando che il sgr definito agisce in modo discontinuo (manda palle di raggio <1 da tutt'altra parte!) si ha la tesi.
lol figata se avessi 50 € da spendere lo farei.
"Luca.Lussardi":
Ah l'hai comprata Leonardo? Mi sembrava di aver già detto a qualcuno questa cosa, ma non ricordavo più a chi...
Si Luca, l'ho comprata. Devo dire che chiunque la vede pretende spiegazioni su questa bottiglia, che con la bottiglia di Klein ovviamente ha solo la somiglianza!
Ciao!
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