Gruppi finiti e sottogruppi ciclici
Ciao a tutti,
un corollario del "Teorema di Lagrange" dice che:
Se $G$ è un gruppo finito di ordine n, allora il periodo di ogni elemento $g in G$ divide l'ordine di G, ovvero $o(g) | n$ per ogni $g in G$
La dimostrazione è svolta come segue:
Se $o(g)=m$ allora $ = { e,g,...,g^(m-1) } <= G$. Poichè $o(g)= ||$ , per il teorema di Lagrange allora $m | n $ $square$
Quindi ogni elemento di un gruppo finito G di ordine n , forma un gruppo ciclico ?
un corollario del "Teorema di Lagrange" dice che:
Se $G$ è un gruppo finito di ordine n, allora il periodo di ogni elemento $g in G$ divide l'ordine di G, ovvero $o(g) | n$ per ogni $g in G$
La dimostrazione è svolta come segue:
Se $o(g)=m$ allora $
Quindi ogni elemento di un gruppo finito G di ordine n , forma un gruppo ciclico ?
Risposte
Ciao @lorenzoasr,
seguo anch'io questo post perchè mi interessa.
In realtà, credo che la tua domanda abbia una risposta affermativa, ovvero che un gruppo finito G di ordine n forma un gruppo ciclico. Il mio ragionamento è il seguente (utilizziamo la notazione moltiplicativa). Per il teorema di Lagrange sappiamo che, dato un gruppo di ordine finito G, ogni elemento g di G divide l'ordine di G. Il fatto di poter associare ad un elemento g il sottogruppo ciclico deriva dal fatto che, sicuramente $ = {g^0, g^1}={e,g} $ . Pertanto, in questo caso, $ ||=2 $ , ovvero ha per cardinalità un numero primo. Poiché tutti i gruppi di cardinalità un primo sono ciclici $ rArr $ è ciclico.
Ho preso appositamente un sottogruppo con due elementi poiché è sempre possibile da trovare.
Spero che quello che ho affermato vada bene.
seguo anch'io questo post perchè mi interessa.
In realtà, credo che la tua domanda abbia una risposta affermativa, ovvero che un gruppo finito G di ordine n forma un gruppo ciclico. Il mio ragionamento è il seguente (utilizziamo la notazione moltiplicativa). Per il teorema di Lagrange sappiamo che, dato un gruppo di ordine finito G, ogni elemento g di G divide l'ordine di G. Il fatto di poter associare ad un elemento g il sottogruppo ciclico
Ho preso appositamente un sottogruppo con due elementi poiché è sempre possibile da trovare.
Spero che quello che ho affermato vada bene.
Ciao Boldix, intanto auguri passati di buona pasqua 
Ho approfittato di questi giorni per rinferscarmi un pò le idee riguardo certe cose che non mi erano molto chiare!
C'è un passaggio del tuo ragionamento che non mi convince!
Non capisco come fai a dire che sicuramente $ = {g^0, g^1} = {e,g}$. Infatti sappiamo che, preso un qualsiasi elemento $g in G$ gruppo di ordine n, allora il sottogruppo generato da $$ è dato dall'intersezione di tutti gli $H<=G$ t.c. $g in H$.
A questo punto ci sono due possibilità, se n è primo, per il Teo di Lagrange gli unici sottogruppi sono quelli banali e di conseguenza $ = G$ e quindi G è ciclico.
Se invece n non è primo, allora possiamo solo dire che sicuramente $$$={g : g^m=e}!=emptyset$ in quanto g sarà contenuto ALMENO dal sottogruppo banale G. Inoltre dato che $$ è un sottogruppo di G e dato che ha ordine m, per il Teo di Lagrange abbiamo che $forall g in G$ t.c. $g^m=e$ allora $m|n$ dove $n$ è l'ordine di G.
Spero di non aver fatto confusione, credo però che fosse necessario gestire i due casi separatamente.
Lorenzo
Ho approfittato di questi giorni per rinferscarmi un pò le idee riguardo certe cose che non mi erano molto chiare!
C'è un passaggio del tuo ragionamento che non mi convince!
Non capisco come fai a dire che sicuramente $
A questo punto ci sono due possibilità, se n è primo, per il Teo di Lagrange gli unici sottogruppi sono quelli banali e di conseguenza $
Se invece n non è primo, allora possiamo solo dire che sicuramente $
Spero di non aver fatto confusione, credo però che fosse necessario gestire i due casi separatamente.
Lorenzo
qualcuno può confermare o smentire?
Provo a ricapitolare: dato un gruppo finito $G$ allora $g^{|G|}=e$ per ogni $g\in G$. Per il teorema di Lagrange la cardinalità di ogni sottogruppo divide $|G|$. Il sottogruppo generato da $g$ è proprio il gruppo ciclico dato da $\langle g\rangle= \{e,g,g^2,...,g^{o(g)-1} \}$. Ovviamente se $G$ è finito allora anche $\langle g\rangle$ è finito e di cardinalità $o(g)$ (il quale divide $|G|$ per il teorema di Lagrange).
Ciò non implica che $G$ sia ciclico. Basta pensare a $Z_m\times Z_n$ con $m,n$ non coprimi o ai gruppi diedrali $D_{2n}=\langle \rho,r\rangle$.
Se l'ordine del gruppo è primo allora per ogni $g\in G$ $o(g)||G|$ per cui $o(g)=|G|$ e $\langle g\rangle =G$, ossia $G$ è ciclico.
Spero di aver risposto ai vostri dubbi.
Ciò non implica che $G$ sia ciclico. Basta pensare a $Z_m\times Z_n$ con $m,n$ non coprimi o ai gruppi diedrali $D_{2n}=\langle \rho,r\rangle$.
Se l'ordine del gruppo è primo allora per ogni $g\in G$ $o(g)||G|$ per cui $o(g)=|G|$ e $\langle g\rangle =G$, ossia $G$ è ciclico.
Spero di aver risposto ai vostri dubbi.
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