Gruppi e strutture algebriche

[Nikita~27]

Salve a tutti.
Cercavo di risolvere un esercizio sui gruppi, ma alcuni dei punti proprio non so svolgerli.
Ignorantemente non so ancora cosa dovrei fare... Qualcuno potrebbe dirmelo in parole povere?

Si pone $G = mathbb(Q) × mathbb(Q)^** $e si definisce la seguente legge di composizione interna:
$(a, b) * (c, d) = (a + c, bd), \ \ AA(a, b), (c, d) in G$

a) Trovare l'elemento neutro di $(G, *)$

b) Trovare l’inverso di $(1, 2), (3, 5), (−1, 4), (0,−1)$

c) Verificare che $H = {(m, 1) in G| b in mathbb(Z)}$ è un
sottogruppo di G.

Tutti gli altri punti dell'esercizio li ho svolti autonomamente

Grazie a chi mi aiuterà!

P.s. La legge di composizione interna è definita da un asterisco, non dal pallino di moltiplicazione.

[vict85]

Per (a) tu devi trovare dei valori \(c\) e \(d\) tali che \((a+c,bd) = (a,b)\).

[Nikita~27]

"vict85":Per (a) tu devi trovare dei valori \(c\) e \(d\) tali che \((a+c,bd) = (a,b)\).

Quindi $c = 0$ e $d = 1$? Nel caso fosse esatto, come si dimostra formalmente? Con un sistema?

[vict85]

Basta mostrare che è neutro da entrambe le parti, insomma fai i calcoli.

[Nikita~27]

Ok fatto Grazie.
Per gli altri due punti invece?
Per determinare l'inverso è necessario che esista l'elemento neutro, che ho trovato, ma non riesco ad applicare la definizione per trovare l'inverso, perchè sono coppie e non so come fare...

[vict85]

Il principio è lo stesso. In generale l'inverso di un prodotto è il prodotto degli inversi. Ragionaci sopra.