Gruppi e sottogruppi di permutazioni (esercizio)

[ferrets]

Ho trovato difficoltà nello svolgimento del seguente esercizio:

1) Nel gruppo $S_4$ determinare, se esiste, una permutazione $\tau$ tale che

$\tau * (123) * \tau^-1 = (124)$[/list:u:2hti8626]
2) Provare che il sottogruppo $H= <(123)>$ non è normale in $S_4$[/list:u:2hti8626]

1) Come posso procedere per determinare la permutazione $\tau$ cercata?
2) Come si prova che $H$ non è normale in $S_4$?
Credo di non aver chiaro il concetto di sottogruppo normale.. Se non sbaglio un sottogruppo è normale quando il laterale sinistro è uguale al laterale destro, giusto?

P.S.: è il mio primo messaggio e non ho idea di come si scriva il simbolo di composizione, che assomiglia un po a $°$

[j18eos]

Benvenut*,

ti invito a leggere il regolamento (click), in particolare ti invito a descrivere un tuo tentativo di soluzione;

grazie anche a nome dello staff (di cui non faccio parte).

"ferrets":...Se non sbaglio un sottogruppo è normale quando il laterale sinistro è uguale al laterale destro, giusto?...

Sì, ma in questo caso ti conviene usare questa definizione?

P.S.: Per le formule clicca qui!

[ferrets]

Grazie mille per l'aiuto

Ad essere sincero per il primo esercizio sono andato molto per tentativi... Alla fine la soluzione l'ho trovata, ma ovviamente non è così che si deve procedere..
All'inizio ero partito col definire una permutazione $\tau = ((1,2,3,4),(a,b,c,d))$ e tentare di calcolare

$((1,2,3,4),(a,b,c,d))º[((1,2,3,4),(2,3,1,4))º((a,c,b,d),(1,2,3,4))] = ((1,2,3,4),(2,4,3,1)) $[/list:u:2gg0m97l]
Con la speranza di riuscire ad ottenere qualcosa, ma il risultato non era quello giusto...

Per il secondo invece non so proprio dove mettermi le mani, soprattutto se mi dici che non devo partire da quella definizione (cosa che invece avrei fatto..

[j18eos]

Non conosci il coniugio?

Comunque sia:

1) è \(\tau(1\,2\,3)\tau^{-1}=(\tau(1)\,\tau(2)\,\tau(3))=(1\,2\,4)\) (coniugato di \((1\,2\,3)\) mediante la permutazione \(\tau\));

2) coniuga \((1\,2\,3)\) mediante un elemento che non è in \(\langle(1\,2\,3)\rangle\), che accade?

[ferrets]

No, in effetti no. Ho cercato in tutto il libro, ma le classi di coniugo non ci sono.
C'è solo un esempio che dice:

Dato un gruppo $G$ si dimostra che, fissato comunque un elemento $a$ di $G$, l'applicazione $\sigma_a: G\toG$ definita come segue:

$\sigma_a(x)=a^-1xa$[/list:u:vxaplsds]
per ogni $x\inG$, è un automorfismo di G. Gli automorfismi $\sigma_a$, per ciascun elemento $a$ di $G$, si chiamano automorfismi interni di $G$[/list:u:vxaplsds]

E un teorema che dice:


Un sottogruppo$H$ di un gruppo $G$ è un sottogruppo normale di $G$ se e solo se:

$a^-1xa\inH$[/list:u:vxaplsds]
per ogni $a\inG$ e $h\in\H$[/list:u:vxaplsds]

Il teorema è quello che dovrò usare per lo svolgimento del secondo esercizio, giusto? Mi accorgerò che coniugando $(1,2,3)$ (che appartiene ad $H$) mediante un elemento di $S_4$ che non appartiene ad $H=<(1,2,3)>$ troverò un elemento al di fuori di $H$, e questo dimostrerà che $H$ non è normale in $S_4$. Giusto?

Per quanto riguarda il primo esercizio invece, da quello che mi hai scritto posso dedurre che:
$\tau(1)\to1$
$\tau(2)\to2$
$\tau(3)\to4$
Quindi sarà una permutazione $\tau=(1)(2)(34)=(34)=((1,2,3,4),(1,2,4,3))$ che lascia invariati i primi due elementi e scambia di posto gli ultimi due.

Però quello che non ho capito è come faccio a dire che $\tau(1 2 3)\tau^-1=(\tau(1)\tau(2)\tau(3))$? C'è qualche teorema che lo afferma?

[j18eos]

I teoremi che hai enunziato sono giusti; per quanto riguarda il coniugato di una permutazione mediante un'altra lo si calcola a mano, così si dimostra il lemma (teorema è un pò troppo!)

[ferrets]

Mi rimane solo un dubbio, ma davvero enorme!
Per cercare un elemento che non appartenga ad $<(123)>$ ma appartenga ad $S_4$ dovrei avere ben chiaro in testa di quali gruppi stiamo parlando..

Il sottogruppo $<(123)>$ di $S_4$ da quali elementi è composto? Quand'è che una una permutazione appartiene ad $<(123)>$?

Edit:
Ci provo io, sperando di non sbagliare!
Il gruppo $H=<(123)>$ è costituito dai soli elementi:
$(123)=(231)=(312)$
$(123)^2=(132)=(321)=(213)$
$(123)^3=id$

Giusto?

[j18eos]

Sì, hai calcolato \(H\)... per il resto?

[ferrets]

Ora se faccio
$(1324)*(123)*(1423)$
$1\to4\to4\to1$

$1\to1$[/list:u:1afkbx3s]
$2\to3\to1\to3$
$2\to3$[/list:u:1afkbx3s]
$3\to1\to2\to4$
$3\to4$[/list:u:1afkbx3s]
$4\to2\to3\to2$
$4\to2$[/list:u:1afkbx3s]
Quindi:
$(1324)*(123)*(1423)=(234)$
e $(234)\notinH$
da cui deduco che $H$ non è normale in $S_4$

[j18eos]

Esatto!

Tutto chiaro?

OUT OF SELF Per farmi un'idea delle conoscenze che hai di algebra: qual è il testo di riferimento che usi?

[ferrets]

Si, grazie mille, davvero!

Comunque nel mio corso si usa questo:
Basile Alessandro, Algebra Lineare e Geometria cartesiana, Margiacchi-Galeno Editrice.