Gruppi e sottogruppi ciclici
Salve, seguendo il corso di algebra 1 in università non ho ben capito l'argomento dei gruppi ciclici e dei sottogruppi.
Purtroppo dal testo "classic algebra" in inglese non mi trovo molto e cercando su internet ho trovato davvero poco!
Qualcuno avrebbe dei link con delle spiegazioni oppure sarebbe così gentile da spiegarmi le proprietà dei gruppi ciclici e dei loro sottogruppi!
Grazie
[xdom="Martino"]Per favore inserire il titolo in minuscolo. Grazie. Stavolta ho modificato io.[/xdom]
Purtroppo dal testo "classic algebra" in inglese non mi trovo molto e cercando su internet ho trovato davvero poco!
Qualcuno avrebbe dei link con delle spiegazioni oppure sarebbe così gentile da spiegarmi le proprietà dei gruppi ciclici e dei loro sottogruppi!
Grazie
[xdom="Martino"]Per favore inserire il titolo in minuscolo. Grazie. Stavolta ho modificato io.[/xdom]
Risposte
Ciao, un gruppo ciclico è semplicemente un gruppo che può essere generato da un suo elemento.
Sia \( g \in G \), notiamo \( \left< g \right> := \{ g^m | m \in \mathbb{Z} \} \).
i) \( \left< g \right> \) è sottogruppo di \(G \), dimostralo.
ii) Un gruppo \( G \) è detto ciclico se esiste \( g \in G \) tale che \(\left< g \right>=G \). In tal caso \(g \) è detto generatore di \(G \).
Ad esempio \( (\mathbb{Z},+,0) \) è ciclico poiché \( \mathbb{Z} = \left< 1 \right> \).
Mentre definendo \( H := 2 \mathbb{Z} \) (i numeri pari), abbiamo che \( H \) è sottogruppo di \( \mathbb{Z} \). Inoltre \(H \) è ciclico. Infatti esiste \(h \in H \) tale che \(H= \left< h \right>\), ad esempio \(H = \left< 2 \right>\). E dunque per i) abbiamo che \( H \) è sottogruppo ciclico di \(\mathbb{Z} \).
1) \( \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \) è ciclico? Se si trova tutti i generatori di \( \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \). Trova tutti i sottogruppi ciclici di \( \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \).
Sia \( g \in G \), notiamo \( \left< g \right> := \{ g^m | m \in \mathbb{Z} \} \).
i) \( \left< g \right> \) è sottogruppo di \(G \), dimostralo.
ii) Un gruppo \( G \) è detto ciclico se esiste \( g \in G \) tale che \(\left< g \right>=G \). In tal caso \(g \) è detto generatore di \(G \).
Ad esempio \( (\mathbb{Z},+,0) \) è ciclico poiché \( \mathbb{Z} = \left< 1 \right> \).
Mentre definendo \( H := 2 \mathbb{Z} \) (i numeri pari), abbiamo che \( H \) è sottogruppo di \( \mathbb{Z} \). Inoltre \(H \) è ciclico. Infatti esiste \(h \in H \) tale che \(H= \left< h \right>\), ad esempio \(H = \left< 2 \right>\). E dunque per i) abbiamo che \( H \) è sottogruppo ciclico di \(\mathbb{Z} \).
1) \( \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \) è ciclico? Se si trova tutti i generatori di \( \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \). Trova tutti i sottogruppi ciclici di \( \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} \).
Grazie! Più che altro non ho ben capito il discorso dei sottogruppi di un gruppo ciclico finito e infinito!
In classe un esercizio simili lo abbiamo fatto (con le classi di resto modulo 8) e l'ho capito!
Trovo difficoltà con i sottogruppi di un gruppo ciclico infinito e finito a livello di teoria!
Grazie
In classe un esercizio simili lo abbiamo fatto (con le classi di resto modulo 8) e l'ho capito!
Trovo difficoltà con i sottogruppi di un gruppo ciclico infinito e finito a livello di teoria!
Grazie
"Aletzunny":
Grazie! Più che altro non ho ben capito il discorso dei sottogruppi di un gruppo ciclico finito e infinito!
In classe un esercizio simili lo abbiamo fatto (con le classi di resto modulo 8) e l'ho capito!
Trovo difficoltà con i sottogruppi di un gruppo ciclico infinito e finito a livello di teoria!
Grazie
Cos'è che non ti è chiaro dei sottogruppi di un gruppo ciclico finito/infinito?
Le potenze che "costituiscono" gli elementi del sottogruppo e come determinarli
Non sono sicuro di capire quale sia il tuo dubbio, potresti essere più specifico.
Ad ogni modo, se ho capito. Prendiamo in esame il caso in cui \(G \) sia un gruppo ciclico finito, diciamo di ordine \( \left| G \right| = n \).
0) Sia \( g \in G \) allora \( \left< g \right> \) è sottogruppo di \( G \).
Idea della dimostrazione:
1) Sia \( g \in G \) allora l'ordine di \(g \) divide l'ordine di \(G \), \( ord(g) | \left|G \right| \).
Idea della dimostrazione:
2) Se \( g \in G \) è di ordine \( m = k \ell \) allora \( g^k \) è di ordine \( \ell \).
Idea della dimostrazione:
3) Se \( g \in G \) è di ordine \( m \), allora \( \{ k\in \mathbb{Z} | g^k = e \} = m \mathbb{Z} \).
Idea della dimostrazione:
4) Se \( d | n \) esiste almeno un \(H \) sottogruppo di \( G \) di ordine \(d \).
Idea della dimostrazione:
Ad ogni modo, se ho capito. Prendiamo in esame il caso in cui \(G \) sia un gruppo ciclico finito, diciamo di ordine \( \left| G \right| = n \).
0) Sia \( g \in G \) allora \( \left< g \right> \) è sottogruppo di \( G \).
Idea della dimostrazione:
1) Sia \( g \in G \) allora l'ordine di \(g \) divide l'ordine di \(G \), \( ord(g) | \left|G \right| \).
Idea della dimostrazione:
2) Se \( g \in G \) è di ordine \( m = k \ell \) allora \( g^k \) è di ordine \( \ell \).
Idea della dimostrazione:
3) Se \( g \in G \) è di ordine \( m \), allora \( \{ k\in \mathbb{Z} | g^k = e \} = m \mathbb{Z} \).
Idea della dimostrazione:
4) Se \( d | n \) esiste almeno un \(H \) sottogruppo di \( G \) di ordine \(d \).
Idea della dimostrazione:
Erano proprio queste le proprietà che non mi erano chiare! Grazie
Scusate se mi inserisco.
Per il punto $0$:
verifica semplicemente che per ogni \( g_1,g_2 \in \left< g \right> \) allora hai \( g_1g_2^{-1} \in \left< g \right> \).
Un esempio non potrebbe essere questo:
consideriamo $ < g > = nZ$: in notazione additiva abbiamo
$g_1=nx$ dove $x in Z$
$g_2=ny$ dove $y in Z$
$(g_2)^-1=n(-y)$ dove $-y in Z$
Da cui segue che
$g_1*(g_2)^-1=nx + n(-y)=n(x-y) in nZ$
Questo dovrebbe bastare per dimostrare che $nZ <=Z$
Per il punto $0$:
verifica semplicemente che per ogni \( g_1,g_2 \in \left< g \right> \) allora hai \( g_1g_2^{-1} \in \left< g \right> \).
Un esempio non potrebbe essere questo:
consideriamo $ < g > = nZ$: in notazione additiva abbiamo
$g_1=nx$ dove $x in Z$
$g_2=ny$ dove $y in Z$
$(g_2)^-1=n(-y)$ dove $-y in Z$
Da cui segue che
$g_1*(g_2)^-1=nx + n(-y)=n(x-y) in nZ$
Questo dovrebbe bastare per dimostrare che $nZ <=Z$
Si va bene come esempio. Ma non ho capito se la tua era una domanda o se volevi aiutare l'OP.
Si, é un aiuto e anche un momento di confronto.
"3m0o":
Non sono sicuro di capire quale sia il tuo dubbio, potresti essere più specifico.
Ad ogni modo, se ho capito. Prendiamo in esame il caso in cui \(G \) sia un gruppo ciclico finito, diciamo di ordine \( \left| G \right| = n \).
0) Sia \( g \in G \) allora \( \left< g \right> \) è sottogruppo di \( G \).
Idea della dimostrazione:
1) Sia \( g \in G \) allora l'ordine di \(g \) divide l'ordine di \(G \), \( ord(g) | \left|G \right| \).
Idea della dimostrazione:
2) Se \( g \in G \) è di ordine \( m = k \ell \) allora \( g^k \) è di ordine \( \ell \).
Idea della dimostrazione:
3) Se \( g \in G \) è di ordine \( m \), allora \( \{ k\in \mathbb{Z} | g^k = e \} = m \mathbb{Z} \).
Idea della dimostrazione:
4) Se \( d | n \) esiste almeno un \(H \) sottogruppo di \( G \) di ordine \(d \).
Idea della dimostrazione:
Non vorrei aprire un nuovo post e quindi sfrutto questo! Negli appunti delle lezioni trovo la seguente frase "se $G$ è un gruppo ciclico di ordine $n$ allora $G$ contiene $p(n)$ elementi di periodo $n$.
[Dove $p(n)$ è la funzione di Eulero così calcolata: per esempio:$p(25)=p(5^2)=5^2-5=20$]
"Dato $H$ esiste un unico sottogruppo di $G$ di ordine $d$ con $d$ divisore di $n$. D'altra parte $H$ è ciclico di ordine $d$ quindi contiene $p(d)$ elementi di ordine $d$. Come conseguenza si ha che $n=\sum_(n/d) p(d)$
Tuttavia non capisco questa affermazione applicata ad un esercizio:dato $G=
Dove sto sbagliando? Cosa non ho capito?
Grazie
Nessuno riesce ad aiutarmi?
Sbagli a prendere l'insieme dei divisori di \( 12 \). Infatti \( \{ 1,2,3,4,6 \} \) non è l'insieme di tutti i divisori di 12.
Ho pensato infatti che $12$ è divisibile anche per $12$ stesso e ${-1,-2,-3,-4,-6,-12}$ tuttavia come faccio a calcolare $p(n)$ con $n$ negativo?
In quanto la formula dataci a lezione valeva per $n>0$
In quanto la formula dataci a lezione valeva per $n>0$
Beh la funzione toziente di Eulero è definita sugli interi positivi non ha senso considerare i divisori negativi.
Con tutti i divisori sottointendevo tutti i divisori positivi.
"3m0o":
Sbagli a prendere l'insieme dei divisori di \( 12 \). Infatti \( \{ 1,2,3,4,6 \} \) non è l'insieme di tutti i divisori di 12.
Con tutti i divisori sottointendevo tutti i divisori positivi.
Quindi appunto dovrei calcolare $p(n)$ con $n={1,2,3,4,6,12}$ ma allora non capisco dove sbaglio
$p(1)=1-1=0$
$p(2)=2-1=1$
$p(3)=3-1=2$
$p(4)=p(2^2)=4-2=2$
$p(6)=p(3)*p(2)=2*1=2$
$p(12)=p(4)*p(3)=2*2=4$
Ma mi viene $12!=0+1+2+2+2+4$ e non capisco dove stia sbagliando.
Forse bisogna considerare
$p(1)=1$ ?
$p(1)=1-1=0$
$p(2)=2-1=1$
$p(3)=3-1=2$
$p(4)=p(2^2)=4-2=2$
$p(6)=p(3)*p(2)=2*1=2$
$p(12)=p(4)*p(3)=2*2=4$
Ma mi viene $12!=0+1+2+2+2+4$ e non capisco dove stia sbagliando.
Forse bisogna considerare
$p(1)=1$ ?
"Aletzunny":
Quindi appunto dovrei calcolare $p(n)$ con $n={1,2,3,4,6,12}$ ma allora non capisco dove sbaglio
$p(1)=1-1=0$
$p(2)=2-1=1$
$p(3)=3-1=2$
$p(4)=p(2^2)=4-2=2$
$p(6)=p(3)*p(2)=2*1=2$
$p(12)=p(4)*p(3)=2*2=4$
Ma mi viene $12!=0+1+2+2+2+4$ e non capisco dove stia sbagliando.
Forse bisogna considerare
$p(1)=1$ ?
Attenzione \( \varphi(p^k)=p^k - p^{k-1} \) vale solo se \( p \) è primo, 1 non è primo.
Ecco allora i calcoli da me sopra svolti sono corretti salvo che $p(1)=1$ (numero di interi tra $1$ e $1$ coprimi con $1$ giusto?) E quindi torno alla definizione
$12=12$
Grazie
$12=12$
Grazie
Si,
dimostra che per ogni intero positivo \( n > 1 \) hai che
\[ \varphi(n)= n \prod\limits_{i=1}^{m} \left( 1 - \frac{1}{p_i} \right) \]
dove \( n = p_1^{k_1} \cdot \ldots \cdot p_m^{k_m } \) è la fattorizzazione in numeri primi di \(n \).
dimostra che per ogni intero positivo \( n > 1 \) hai che
\[ \varphi(n)= n \prod\limits_{i=1}^{m} \left( 1 - \frac{1}{p_i} \right) \]
dove \( n = p_1^{k_1} \cdot \ldots \cdot p_m^{k_m } \) è la fattorizzazione in numeri primi di \(n \).
Io la farei così: sia $n=p1^(k1)....pr^(kr)$ con $p1...pr$ primi distinti.
Allora $p(n)=p(p1^(k1))....*p(pr^(kr))$
$=(p1^(k1)-p1^(k1-1))....(pr^(kr)-pr^(kr-1))$
$=p1^(k1)(1-1/p1)....pr^(kr)(1-1/(pr))$
Allora $p(n)=p(p1^(k1))....*p(pr^(kr))$
$=(p1^(k1)-p1^(k1-1))....(pr^(kr)-pr^(kr-1))$
$=p1^(k1)(1-1/p1)....pr^(kr)(1-1/(pr))$
"Aletzunny":
Io la farei così: sia $n=p1^(k1)....pr^(kr)$ con $p1...pr$ primi distinti.
Allora $p(n)=p(p1^(k1))....*p(pr^(kr))$
$=(p1^(k1)-p1^(k1-1))....(pr^(kr)-pr^(kr-1))$
$=p1^(k1)(1-1/p1)....pr^(kr)(1-1/(pr))$
Solo una cosa, per scrivere la funzione di Eulero scrivi "\varphi" per scrivere a pedice la r un numero "p_r^{k_r}" così diventa più leggibile. Te lo scrivo in modo più leggibile
\[\varphi(n)=\varphi(p_1^{k_1}) \cdot ...\cdot \varphi(p_r^{k_r})\]
\[=(p_1^{k_1}-p_1^{k_1-1})\cdot... \cdot (p_r^{k_r}-p_r^{k_r-1})\]
\[=p_1^{k_1}\left( 1 - \frac{1}{p_1} \right)\cdot ... \cdot p_r^{k_r}\left( 1 - \frac{1}{p_r} \right)= n \prod\limits_{i=1}^{r} \left( 1 - \frac{1}{p_i} \right)\]
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