Gruppi di matrici

[Andrea902]

Buongiorno a tutti!
Vorrei avere dei chiarimenti riguardo l'esercizio seguente:
Sia $G={((a,b),(c,d))|a,b,c,dinRR, det((a,b),(c,d))!=0}$.
1) Provare che $H={hinG|deth=+-1}$ è un sottogruppo normale di $G$;
2) Determinare il centro di $H$.

1) Nel primo punto devo procedere con la definizione di sottogruppo normale? Perché così facendo ottengo dei conti molto lunghi anche se alla fine il risultato torna.
2) Riguardo il centro, $AA((e,f),(g,h))inH$ deve risultare: $((a,b),(c,d))*((e,f),(g,h))=((e,f),(g,h))*((a,b),(c,d))$. Così ottengo il sistema:
${(ae+bg=ae+cf),(af+bh=be+df),(ce+dg=ag+ch), (cf+dh=bg+dh):}$ da cui si trae: $b=c=0$ e $a=d$, quindi le matrici che stanno nel centro del gruppo sono del tipo $((a,0),(0,a))$, giusto?
Ho omesso un po' di formalità per entrare nel merito del problema!

Vi ringrazio anticipatamente per le risposte.

[mistake89]

Per il punto 1) potresti usare il teorema fondamentale degli omomorfismi (o isomorfismi) per i gruppi. Trovare cioè un isomorfismo tra $G$ e $Im(G)$ il cui nucleo sia $H$.

Oppure osservare, grazie al teorema di Pinet, che presa una qualsiasi matrice $AinG$ ed una matrice $BinH$ sia ha che $det(ABA^(-1))=det(A)det(B)det(A)^(-1)=...$ ed hai finito.

[Andrea902]

Certo... e quindi avrei subito ottenuto che $det(ABA^(-1))=detA*detB*1/detA=detB$.
Per il secondo punto?

[mistake89]

se i calcoli son giusti e la matrice è della forma che hai scritto non hai ancora finito, in quanto deve essere un elemento di $H$ quindi il suo determinante deve essere $+-1$, quindi dovresti avere $a^2=+-1$. Essendo i coefficienti reali, l'unica possibilità è che $a=1$. Ne deduci che il centro è banale, contenendo solo l'identità.

[Andrea902]

OK, ho capito come devo continuare. Volevo sapere se i calcoli del sistema sono corretti perchè avendo troppe lettere è possibile che mi sia sfuggito qualcosa. Potresti controllare?
Grazie.