Gruppi di Lie
Ciao a tutti,
a proposito dei gruppi di Lie su wiki ho trovato la seguente proposizione
Ogni elemento di un gruppo di Lie compatto e connesso è immagine, tramite la mappa esponenziale, di un elemento dell'algebra
La prima cosa che mi chiedo è come intendere questa affermazione.
Io la intendo così, chiamiamo $G$ il gruppo e g l'algebra, che assumiamo abbia dimensione $d$, allora il teorema afferma che
$AA g in G : EE! X in $g , $EE! t in RR^d$ tali che $ g = e^(t*X) $
Però potrebbe anche essere intesa come
$AA g in G : EE! Y in $g tale che $ g = e^(Y) $
che non ci sia molta differenza sono il primo a dirlo, perchè la mappa t -> $t*X$ è biettiva se scelgo $X = X_B = (B_1, B_2, ... , B_d)$ cioè una base di g; infatti in queste condizioni ogni $Y in$ g è scomponibile in maniera univoca come $Y = sum_(j=1)^d a_j B_j = a * B$ ed ho l'equivalenza delle due.
Il mio primo problema è che, per come ho sviluppato la teoria dei gruppi di Lie, l'esistenza e le proprietà della mappa esponenziale sono quelle di una mappa $RR$ -> $G$ del tipo $e^(t X)$ con $t in RR$ e $X in$ g indipendentemente dalla dimensionalità dell'algebra. Come faccio a recuperare la natura vettoriale del parametro. Che è tipica di queste situazioni, infatti prendendo SU(2) come esempio abbiamo che ogni matrice complessa 2x2 si scrive come $e^(\frac{i}{2} sum x_i \sigma_i)$ con $x = (x_1, x_2, x_3) in RR^3$ e $\sigma_i$ le matrici di Pauli.
In secondo luogo vorrei anche capire come sia possibile dimostrare il teorema nel caso generale, perchè finchè si parla di gruppi su $RR^n$ o $CC^n$ posso capire come procedere, ovvero costruendo esplicitamente la matrice corrispondente ad ogni elemento del gruppo e facendo vedere la suriettività della mappa generata dall'algebra.
Grazie mille
a proposito dei gruppi di Lie su wiki ho trovato la seguente proposizione
Ogni elemento di un gruppo di Lie compatto e connesso è immagine, tramite la mappa esponenziale, di un elemento dell'algebra
La prima cosa che mi chiedo è come intendere questa affermazione.
Io la intendo così, chiamiamo $G$ il gruppo e g l'algebra, che assumiamo abbia dimensione $d$, allora il teorema afferma che
$AA g in G : EE! X in $g , $EE! t in RR^d$ tali che $ g = e^(t*X) $
Però potrebbe anche essere intesa come
$AA g in G : EE! Y in $g tale che $ g = e^(Y) $
che non ci sia molta differenza sono il primo a dirlo, perchè la mappa t -> $t*X$ è biettiva se scelgo $X = X_B = (B_1, B_2, ... , B_d)$ cioè una base di g; infatti in queste condizioni ogni $Y in$ g è scomponibile in maniera univoca come $Y = sum_(j=1)^d a_j B_j = a * B$ ed ho l'equivalenza delle due.
Il mio primo problema è che, per come ho sviluppato la teoria dei gruppi di Lie, l'esistenza e le proprietà della mappa esponenziale sono quelle di una mappa $RR$ -> $G$ del tipo $e^(t X)$ con $t in RR$ e $X in$ g indipendentemente dalla dimensionalità dell'algebra. Come faccio a recuperare la natura vettoriale del parametro. Che è tipica di queste situazioni, infatti prendendo SU(2) come esempio abbiamo che ogni matrice complessa 2x2 si scrive come $e^(\frac{i}{2} sum x_i \sigma_i)$ con $x = (x_1, x_2, x_3) in RR^3$ e $\sigma_i$ le matrici di Pauli.
In secondo luogo vorrei anche capire come sia possibile dimostrare il teorema nel caso generale, perchè finchè si parla di gruppi su $RR^n$ o $CC^n$ posso capire come procedere, ovvero costruendo esplicitamente la matrice corrispondente ad ogni elemento del gruppo e facendo vedere la suriettività della mappa generata dall'algebra.
Grazie mille
Risposte
dopo un paio di giorni ancora nessuno interessato ai gruppi di Lie??!?!?!?!?!??!!!??
..........povero Lie..........
..........povero Lie..........
Per il primo punto ad occhio direi che sono possibili due strade: estendere la definizione di mappa esponenziale in modo da farla diventare una mappa da $\RR^n \to G$, oppure considerarla per un singolo parametro tenendo fissati gli altri, cosa lecita dal momento che sono parametri indipendenti. Temo però di non aver capito bene il problema.
Per il secondo punto vedi se può esserti utile questo: http://www.math.ucla.edu/~vsv/liegroups2007/8.pdf.
Per il secondo punto vedi se può esserti utile questo: http://www.math.ucla.edu/~vsv/liegroups2007/8.pdf.
Mi spiego meglio. Non è che il primo punto mi preoccupi particolarmente, visto che
$Y(t) = sum_(i=1)^n t_i X_i " con " t in RR^n " e " {X_i}_(i=1,2,...,d) " base dell'algebra" $
è un isomorfismo tra $RR^n$ e l'algebra.
Quello che non capisco, e non mi pare di averlo trovato nel pdf che hai linkato, è come si faccia a dimostrare il teorema generale.
Qualche idea?
$Y(t) = sum_(i=1)^n t_i X_i " con " t in RR^n " e " {X_i}_(i=1,2,...,d) " base dell'algebra" $
è un isomorfismo tra $RR^n$ e l'algebra.
Quello che non capisco, e non mi pare di averlo trovato nel pdf che hai linkato, è come si faccia a dimostrare il teorema generale.
Qualche idea?
Credo che la questione non sia così banale. Cercando un po' in giro ho trovato questo articolo in cui dice:
Alternativamente in questo libro c'è una parte abbastanza vasta dedicata a questo argomento, purtroppo non tutte le pagine sono disponibili nell'anteprima online.
Compact connected Lie groups are always exponential, since exp commutes with conjugation and any compact connected Lie group is the union of the conjugates of a maximal torus which is exponential.
Alternativamente in questo libro c'è una parte abbastanza vasta dedicata a questo argomento, purtroppo non tutte le pagine sono disponibili nell'anteprima online.
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