Gruppi ciclici finiti

[plesyo96]

Salve,
ho alcuni problemi con questo esercizio:
Sia G= un gruppo ciclico. Provare che G è finito se e solo se esiste un intero positivo n, tale che $x^n=1$.

Dimostro la "<=". Per ipotesi esiste un intero positivo n tale che $x^n=1$. Supponiamo n=h-k con h e k interi. Essendo $n != 0$ allora $h != k$. Per ipotesi $x^(h-k) = 1$. Ovvero $x^h = x^k$. Questo vuol dire che G non è un gruppo ciclico infinito, ma un gruppo ciclico finito.

Dimostro la "=>". Per ipotesi |G|=k dove k è un intero. Allora $G={x^0,x^1,...,x^(k-1)}$. E qui non saprei come procedere

Inoltre spero di non aver sbagliato la prima implicazione.

[Studente Anonimo]

Osserva che $x^k \in G$.

[plesyo96]

"Martino":Osserva che $x^k \in G$.

In che senso?

[Studente Anonimo]

$x^k \in G = \{x^0,x^1,\ldots,x^{k-1}\}$ quindi $x^k = x^j$ per qualche $j \in \{0,1,\ldots,k-1\}$ da cui $x^{k-j}=1$.

La prima implicazione andrebbe scritta meglio: siccome $x^n=1$ gli elementi di $G$ sono $1,x,x^2,\ldots,x^{n-1},x^n=1,x^{n+1}=x,\ldots$ quindi dopo $x^n$ si ripetono gli elementi $1,x,x^2,\ldots,x^{n-1}$, e quindi $G=\{1,x,x^2,\ldots,x^{n-1}\}$.

[plesyo96]

"Martino":$x^k \in G = \{x^0,x^1,\ldots,x^{k-1}\}$ quindi $x^k = x^j$ per qualche $j \in \{0,1,\ldots,k-1\}$ da cui $x^{k-j}=1$.

La prima implicazione andrebbe scritta meglio: siccome $x^n=1$ gli elementi di $G$ sono $1,x,x^2,\ldots,x^{n-1},x^n=1,x^{n+1}=x,\ldots$ quindi dopo $x^n$ si ripetono gli elementi $1,x,x^2,\ldots,x^{n-1}$, e quindi $G=\{1,x,x^2,\ldots,x^{n-1}\}$.

Ah ecco, capito. Grazie mille