Gruppi ciclici

[gundamrx91-votailprof]

Volevo capire una cosa sui gruppi ciclici.... un gruppo e' ciclico se preso un elemento del gruppo si ha che e' coprimo con l'ordine del gruppo stesso?

[mistake89]

Prendi $ZZ$. E' ciclico no? Prova a confrontare il periodo di $1$ con quello di $3$ o di $2$...

Credo che non sia una definizione valida, almeno in generale!
Un gruppo è ciclico se esiste un elemento $g in G$ i cui multipli (o potenze) restituiscono tutti gli elementi di $G$

[dissonance]

Che poi, che significa "coprimo con l'ordine del gruppo" ? Mica per forza gli elementi dei gruppi sono numeri interi. Anzi, i gruppi più interessanti sono fatti da oggetti che non sono proprio numeri, per esempio da trasformazioni geometriche.

[mistake89]

Hai ragione dissonance, non mi ero reso conto Credo comunque che intendesse periodo!

[gundamrx91-votailprof]

In effetti stavo vedendo alcuni gruppi di $ZZ$, come $(ZZ_6,+)$ o $(ZZ_4,+)$, che sono ciclici, ma non per tutti i corrispondenti elementi, e mi era sembrato di capire
che per trovare il generatore bastava vedere se l'elemento era coprimo con l'ordine del gruppo.

[mistake89]

Diciamo che nel caso di gruppi infiniti io non ho mai sentito questa cosa di elementi coprimi, perchè quando si tratta di periodo infinito io non saprei se va bene o no. Anche perchè un gruppo ciclico infinito è isomorfo a $ZZ$ che sappiamo bene che ha come generatori $+-1$.
Nel caso invece finito è corretto, i generatori sono gli elementi coprimi con $n$. Ma questa non è una definizione!

[gundamrx91-votailprof]

Si, scusa mistake, ho posto male io la domanda all'inizio non specificando che stavo trattando dei gruppi finiti.
Grazie per il chiarimento