Gruppi ciclici

[Domy#231]

Ciao a tutti!!!! domani ho l'esame di matrematica discreta e ho bisogno di delucidazioni...

se qualcuno di voi cortesemente mi può risolvere questo esercizio

E' assegnato il gruppo ciclico $(ZZ_{12}, +).$
a) determinare l'insieme H dei sottogruppi di $(Z_{12}, +)$
b) tracciare il diagramma di Hasse del reticolo $H$ ordinato per inclusione
c) determinare gli eventuali complementi di tutti gli elemnti di $H$
d) stabilire se $H$ è distributivo.
e) stabilire se $H$ e di Boole.

se qualcuno ha intenione di svolgerlo se cortesemente potrebbe farlo svolgendo i passaggi in modo chiaro e con delle brevi spiegazioni....GRAZIE MILLE!!!!

[Domy#231]

a me interessa solo come si calcolano i sottogruppi perche il resto lo so fare...

[Lord K]

Pensa a come è fatto $ZZ_12$ ed alla definizione di sottogruppo. Da questo ti potrebbe venire naturale osservare che, a parte quelli banali:

${0,6} <= ZZ_12$
${0,4,8} <= ZZ_12$
${0,3,6,9} <= ZZ_12$
${0,2,4,6,8,10} <= ZZ_12$

questi sono i sottogrp cercati

[Lord K]

Ricordati il FONDAMENTALE teorema di Lagrange che ci ricorda che l'ordine di un sottogruppo di un gruppo dato è sempre divisore dell'ordine del gruppo! Qui hai $12$ elementi e quindi necessariamente se ci sono i sottogruppi dovrebbero avere ordine $1,2,3,4,6,12$

[Gatto891]

Per i sottogruppi ciclici abbiamo qualcosa di molto più forte... dato un sottogruppo ciclico di ordine $n$, per ogni divisore $d$ di $n$ esiste sempre ed è unico un sottogruppo di ordine $d$.

Il che dovrebbe esserti molto utile...