Gruppi ciclici

[squalllionheart]

salve rega ho un dubbio
L'esercizio dice che:
Dato il gruppo moltiplicativo U formato dagli elementi invertibili di $ZZ_18$ si dica se è ciclico, e in caso affermativo di dicano due generatori
Una volta definito $U=(1,5,7,11,13,17)$ controllo a mano se e ciclico o c'è qualcosa di più immediato da sapere?
Inoltre nelle soluzioni fa riferimento al fatto che U "a meno di isomorfismi" si tratta di $S_3$ o $ZZ_6$ questo discende dal fatto che $ZZ_6 e S_3$ sono i soli gruppi ciclici di ordine 6?
In generale $S_n$ è ciclico?
Grazie a presto.

[NightKnight1]

Sia Z/18Z* il gruppo moltiplicativo degli elementi invertibili in Z/18Z. Poichè 18 = 2*9 con 2 e 9 primi tra loro, si ha che Z/18Z* è isomorfo al prodotto diretto Z/2Z* x Z/9Z*. Ma Z/2Z* = (1). Quindi Z/18Z* = Z/9Z*. Z/9Z* invece si dimostra + facilmente che è ciclico: basta controllare 2, 4, 5, 7 modulo 9 (si vede che Z/9Z* è generato da 2). Poichè Z/9Z* è ciclico e ha 6 elementi, allora Z/9Z* = Z/6Z per la proprietà transitiva della relazione di isomorfismo di gruppi Z/18Z* è isomorfo a Z/6Z.
Se non conosci questa parte della teoria dei gruppi puoi trovare un generatore di Z/18Z* a mano controllando 5, 7, 11, 13 (il 17 lo escludi perchè è -1 quindi genera il sottogruppo (1,-1) ).
E' del tutto falso che Z/18Z* è isomorfo a S_3!!!!!!!! S_3 non è abeliano!!!

[squalllionheart]

Quindo $S_n$ in generale non è ne ciclico ne abeliano?

[TomSawyer1]

Per $n>2$, $S_n$ non e' abeliano.