Gruppi ciclici
Buonasera, ripassando per altri scopi algebra 1 mi sono venuti dei dubbi che spero possiate aiutarmi a colmare poiché dal Lang non sono riuscito a capire!
Consideriamo un sottogruppo ciclico $C_3$ di ordine $3$: perché l'intersezione con una altro sottogruppo di ordine $3$ è banale?
$C_3$ ha 2 elementi di periodo $3$ e quello neutro...ma da qui non riesco ad arrivare alla tesi (che probabilmente è banale)
Questa affermazione inoltre può vale per sottogruppi $C_(p^n)$ con $p$ primo e $n in NN$?
E in generale per l'intersezione tra $2$ sottogruppi ciclici di ordine differente? per esempio $C_5$ e $C_7$ .
Infine se ricordo bene un gruppo $C_p$ di ordine $p$ primo ha esattamente $(p-1)$ elementi di periodo $p$. Ma in gruppo ciclico per esempio $C_24$, i suoi elementi possono avere periodo che divide $24$ ed esiste un unico sottogruppo ciclico di ordine $2,4,6,8,12$.
Invece per esempio considerando $C_7 x C_49$, esso non è ciclico: ma come posso procedere per determinare i sottogruppi di ordine $7$ di questo gruppo?
Gli elementi di $C_7$ sono tali che $6$ di essi hanno periodo $7$ e gli elementi di $C_(49)$ sono $49$ e il loro periodo può essere $1,7,49$. Come posso però determinare quelli di periodo $7$ ? E dopo ciò, sapendo che un generico $(x,y) in C_7 x C_(49)$ ha periodo $"mcm" (|x|,|y|)$, questo come può aiutarmi ad arrivare alla tesi?
Grazie mille
Consideriamo un sottogruppo ciclico $C_3$ di ordine $3$: perché l'intersezione con una altro sottogruppo di ordine $3$ è banale?
$C_3$ ha 2 elementi di periodo $3$ e quello neutro...ma da qui non riesco ad arrivare alla tesi (che probabilmente è banale)
Questa affermazione inoltre può vale per sottogruppi $C_(p^n)$ con $p$ primo e $n in NN$?
E in generale per l'intersezione tra $2$ sottogruppi ciclici di ordine differente? per esempio $C_5$ e $C_7$ .
Infine se ricordo bene un gruppo $C_p$ di ordine $p$ primo ha esattamente $(p-1)$ elementi di periodo $p$. Ma in gruppo ciclico per esempio $C_24$, i suoi elementi possono avere periodo che divide $24$ ed esiste un unico sottogruppo ciclico di ordine $2,4,6,8,12$.
Invece per esempio considerando $C_7 x C_49$, esso non è ciclico: ma come posso procedere per determinare i sottogruppi di ordine $7$ di questo gruppo?
Gli elementi di $C_7$ sono tali che $6$ di essi hanno periodo $7$ e gli elementi di $C_(49)$ sono $49$ e il loro periodo può essere $1,7,49$. Come posso però determinare quelli di periodo $7$ ? E dopo ciò, sapendo che un generico $(x,y) in C_7 x C_(49)$ ha periodo $"mcm" (|x|,|y|)$, questo come può aiutarmi ad arrivare alla tesi?
Grazie mille
Risposte
Intersecare due gruppi non vuol dire nulla. Puoi intersecare due sottogruppi di un gruppo dato.
Si hai ragione! Spero di aver modificato correttamente!
Le altre domande però penso abbiano senso e spero di riuscire a risolvere! Perché confidavo nel testo "algebra" ma ho trovato pochissimo!
Le altre domande però penso abbiano senso e spero di riuscire a risolvere! Perché confidavo nel testo "algebra" ma ho trovato pochissimo!
Basta ricordarsi 2 cose: (1) se $H,K$ sono sottogruppi di un gruppo $G$, allora $H\cap K$ è un sottogruppo di $G$ e (2) se $G$ è finito e $H$ è un sottogruppo allora $|H|$ divide $|G|$.
Si quelle due proprietà me le ricordavo, ma non riesco a capire come applicarle! Infatti le mie 2 domande sono le seguenti:
(1) Consideriamo un sottogruppo ciclico $C_3$ di ordine $3$: perché l'intersezione con una altro sottogruppo di ordine $3$ è banale?
$C_3$ ha 2 elementi di periodo $3$ e quello neutro...ma da qui non riesco ad arrivare alla tesi (che probabilmente è banale)
Questa affermazione inoltre può vale per sottogruppi $C_(p^n)$ con $p$ primo e $n in NN$?
E in generale per l'intersezione tra $2$ sottogruppi ciclici di ordine differente? per esempio $C_5$ e $C_7$ .
(2)$C_7 x C_49$, esso non è ciclico: ma come posso procedere per determinare i sottogruppi di ordine $7$ di questo gruppo?
Gli elementi di $C_7$ sono tali che $6$ di essi hanno periodo $7$ e gli elementi di $C_(49)$ sono $49$ e il loro periodo può essere $1,7,49$. Come posso però determinare quelli di periodo $7$ ? (Penso di dover usare le varie combinazioni $(a,b)$ e sfruttare la formula di Eulero). Ciò che però mi preoccupa è: ammettiamo di avere $d$ elementi di periodo $7 in C_49$( un generico $(x,y) in C_7 x C_(49)$ ha periodo $"mcm" (|x|,|y|)$) questo come può aiutarmi ad arrivare alla tesi? Cioè come ricavo ora i sottogruppi di ordine $7$ di $C_7 x C_49$?
Grazie mille
(1) Consideriamo un sottogruppo ciclico $C_3$ di ordine $3$: perché l'intersezione con una altro sottogruppo di ordine $3$ è banale?
$C_3$ ha 2 elementi di periodo $3$ e quello neutro...ma da qui non riesco ad arrivare alla tesi (che probabilmente è banale)
Questa affermazione inoltre può vale per sottogruppi $C_(p^n)$ con $p$ primo e $n in NN$?
E in generale per l'intersezione tra $2$ sottogruppi ciclici di ordine differente? per esempio $C_5$ e $C_7$ .
(2)$C_7 x C_49$, esso non è ciclico: ma come posso procedere per determinare i sottogruppi di ordine $7$ di questo gruppo?
Gli elementi di $C_7$ sono tali che $6$ di essi hanno periodo $7$ e gli elementi di $C_(49)$ sono $49$ e il loro periodo può essere $1,7,49$. Come posso però determinare quelli di periodo $7$ ? (Penso di dover usare le varie combinazioni $(a,b)$ e sfruttare la formula di Eulero). Ciò che però mi preoccupa è: ammettiamo di avere $d$ elementi di periodo $7 in C_49$( un generico $(x,y) in C_7 x C_(49)$ ha periodo $"mcm" (|x|,|y|)$) questo come può aiutarmi ad arrivare alla tesi? Cioè come ricavo ora i sottogruppi di ordine $7$ di $C_7 x C_49$?
Grazie mille
L'intersezione di due sottogruppi di ordine $3$ è un sottogruppo di ordine che divide $3$. non ci sono tanti numeri interi che dividono $3$...
(1) ok quindi può essere $3$ o $1$ e fin qui ci sono: ma per quale motivo l'intersezione è proprio banale? E non può essere un sottogruppo di ordine $3$? È questo che non mi è chiaro
(2) su questo come potrei procedere... non mi viene in mente più nulla
(2) su questo come potrei procedere... non mi viene in mente più nulla
"Aletzunny":
(1) ok quindi può essere $3$ o $1$ e fin qui ci sono: ma per quale motivo l'intersezione è proprio banale? E non può essere un sottogruppo di ordine $3$? È questo che non mi è chiaro
Ascolta, se $S$ è un insieme e $A$, $B$ sono due sottoinsiemi di cardinalità $3$ con la proprietà che $|A\cap B|=3$, cosa puoi concludere su $A$ e $B$??
$A=B$
Se l'intersezione ha cardinalità 3 concludi giustamente che
ora ricordati cosa hai domandato.
"Aletzunny":
$ A=B $
ora ricordati cosa hai domandato.
"Aletzunny":
l'intersezione con una altro sottogruppo di ordine 3
Si perfetto, ci sono! Nel senso mi era sfuggito che altro sottogruppo intendesse diverso!
Dunque necessariamente è $1$, cioè integrazione banale
Dunque necessariamente è $1$, cioè integrazione banale
"hydro":
[quote="Aletzunny"](1) ok quindi può essere $3$ o $1$ e fin qui ci sono: ma per quale motivo l'intersezione è proprio banale? E non può essere un sottogruppo di ordine $3$? È questo che non mi è chiaro
Ascolta, se $S$ è un insieme e $A$, $B$ sono due sottoinsiemi di cardinalità $3$ con la proprietà che $|A\cap B|=3$, cosa puoi concludere su $A$ e $B$??[/quote]
Mentre nella (2) cosa mi sta sfuggendo?
Grazie
Un elemento $(x,y)$ di $C_7\times C_{49}$ ha periodo che divide $7$ se e solo se $x$ ed $y$ hanno entrambi periodo che divide $7$. Quanti $x$ ci sono con periodo che divide $7$? $7$. E quanti $y$? Sempre $7$. Quindi ci sono $49$ elementi di periodo che divide $7$: $48$ di periodo esattamente $7$ più l'identità. Ora direi che concludere è piuttosto semplice...
Vuoi un metodo più concettuale? Un sottogruppo di ordine $7$ di $C_7\times C_{49}$ deve essere un sottogruppo di $G=C_7\times C_7$, perchè se $(x,y)$ ci vive dentro allora $y$ ha periodo al più $7$. Adesso i sottogruppi di ordine $7$ di $G$ sono i nuclei delle mappe suriettive $G\to \mathbb F_7$. Queste sono anche mappe di $\mathbb F_7$-spazi vettoriali, quindi ce ne sono esattamente $49-1=48$. I nuclei di due di queste mappe coincidono esattamente quando i vettori che le rappresentano sono proporzionali per una costante nonnulla. Da qui calcolare il risultato è immediato.
Vuoi un metodo più concettuale? Un sottogruppo di ordine $7$ di $C_7\times C_{49}$ deve essere un sottogruppo di $G=C_7\times C_7$, perchè se $(x,y)$ ci vive dentro allora $y$ ha periodo al più $7$. Adesso i sottogruppi di ordine $7$ di $G$ sono i nuclei delle mappe suriettive $G\to \mathbb F_7$. Queste sono anche mappe di $\mathbb F_7$-spazi vettoriali, quindi ce ne sono esattamente $49-1=48$. I nuclei di due di queste mappe coincidono esattamente quando i vettori che le rappresentano sono proporzionali per una costante nonnulla. Da qui calcolare il risultato è immediato.
"hydro":
Un elemento $(x,y)$ di $C_7\times C_{49}$ ha periodo che divide $7$ se e solo se $x$ ed $y$ hanno entrambi periodo che divide $7$. Quanti $x$ ci sono con periodo che divide $7$? $7$. E quanti $y$? Sempre $7$. Quindi ci sono $49$ elementi di periodo che divide $7$: $48$ di periodo esattamente $7$ più l'identità. Ora direi che concludere è piuttosto semplice...
Vuoi un metodo più concettuale? Un sottogruppo di ordine $7$ di $C_7\times C_{49}$ deve essere un sottogruppo di $G=C_7\times C_7$, perchè se $(x,y)$ ci vive dentro allora $y$ ha periodo al più $7$. Adesso i sottogruppi di ordine $7$ di $G$ sono i nuclei delle mappe suriettive $G\to \mathbb F_7$. Queste sono anche mappe di $\mathbb F_7$-spazi vettoriali, quindi ce ne sono esattamente $49-1=48$. I nuclei di due di queste mappe coincidono esattamente quando i vettori che le rappresentano sono proporzionali per una costante nonnulla. Da qui calcolare il risultato è immediato.
Parto dalla conclusione:
Un gruppo di ordine $7$ contiene $6$ elementi di ordine $7$, quindi avendo $48$ elementi di periodo $7$ avrò $48/6=8$ gruppi di ordine $7$.
Non mi è chiaro come si arrivi a $48$ elementi di ordine $7$ in $C_7 x C_49$
Il mio ragionamento è fatto cosi: dalla teoria l'ordine di $(a,b) "con" a in C_7, b in C_(49)$ è l'$"mcm"(|a|,|b|)$
$|a|=1 |b|=7$ $->6$; $|a|=7 |b|=1 -> 6$ ;$|a|=7;|b|=7 ->36$
Dove $6,6,36$ li ottengo calcolando la funzione di Eulero di $7*1,7*1,7*7$
So che si arriva lo stesso a $48$, ma il ragionamento mio è molto più lungo! Grazie
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