Gruppi, algebra, primi passi...
ciao a tutti!
ho un piccolo dubbio che non mi torna il quale ho usato nell'ultimo passaggio per finire una dimostrazione.
se $G$ è un grupo e $N<=G$ e se $N$ e $G$ tali che $AAg\in\G\EE!n\in\N$, allora $|G/N|=1$.
questa affermazione mi pare vera, in quanto se N e G soddisfano quella relazione, allora esiste una sola classe di equivalenza per tutto il gruppo, per esempio $|ZZ/ZZ|=1$ in quanto esiste un unica classe di equivalenza $[z]:={zn|n\in\ZZ}$, o sbaglio ?
Son domande sciocche, però essendo la prima volta nella mia vita che vedo queste cose, devo prenderci ancora bene confidenza...
grazie a tutti
ho un piccolo dubbio che non mi torna il quale ho usato nell'ultimo passaggio per finire una dimostrazione.
se $G$ è un grupo e $N<=G$ e se $N$ e $G$ tali che $AAg\in\G\EE!n\in\N$, allora $|G/N|=1$.
questa affermazione mi pare vera, in quanto se N e G soddisfano quella relazione, allora esiste una sola classe di equivalenza per tutto il gruppo, per esempio $|ZZ/ZZ|=1$ in quanto esiste un unica classe di equivalenza $[z]:={zn|n\in\ZZ}$, o sbaglio ?
Son domande sciocche, però essendo la prima volta nella mia vita che vedo queste cose, devo prenderci ancora bene confidenza...
grazie a tutti
Risposte
non capisco bene la relazione che hai scrittol....
se G è un grupo e N≤G e se N e G tali che $AAg\in G EE!n\in N$, allora $|GN|=1.$
che vuol dire????[/quote]
se G è un grupo e N≤G e se N e G tali che $AAg\in G EE!n\in N$, allora $|GN|=1.$
che vuol dire????[/quote]
Già non è chiara x niente la tua domanda!
Cmq sappi che $G/N=1 iff G=N$ ! Può succedere che invece G sia isomorfo a un sottogruppo proprio N (necessariamente G deve essere infinito ovviamente).
Cmq sappi che $G/N=1 iff G=N$ ! Può succedere che invece G sia isomorfo a un sottogruppo proprio N (necessariamente G deve essere infinito ovviamente).
vi spiego il problema, l'esercizio mi chiede :
"Sia G un gruppo ed N un suo sottogruppo ($N<=G$) tali che $|G/N|=2$, dimostrare che $G/N$ è normale."
soluzione mia:
se $|G/N|=2=>G=[g_1]U[g_2]$ un modo equivalenete di provare la tesi è dimostrare che se $[g_1]=g*N$, $[g_2]!=N*g$.
Per assurdo mettiamo che $[g_1]=g*N$, $[g_2]=N*g$.
allora se $m\in\[g_1]=>EE\n_1\in\N:m=gn_1$ e se $m\in\[g_2]=>EE\n_2\in\N:m=n_2g$.
ovviamente sia $n_1$, sia $n_2$ esistono e sono unici. Allora per ogni elemento di G è possibile trovare un unico elemento di N che metta in relazione questi due elementi (in quanto l'appartenenza d una classe di equivalenza è esclusiva, un elemneto non può appartenere a entrambe le classi di equivalenza ). Però $N<=G$, quindi se $AAg\in\GEEn\in\N$, gli elementi di N son gli stessi elementi di G, allora $|G/N|=1$ assurdo.
ora forse è un pò più chiara la mia domanda grazie a tutti
"Sia G un gruppo ed N un suo sottogruppo ($N<=G$) tali che $|G/N|=2$, dimostrare che $G/N$ è normale."
soluzione mia:
se $|G/N|=2=>G=[g_1]U[g_2]$ un modo equivalenete di provare la tesi è dimostrare che se $[g_1]=g*N$, $[g_2]!=N*g$.
Per assurdo mettiamo che $[g_1]=g*N$, $[g_2]=N*g$.
allora se $m\in\[g_1]=>EE\n_1\in\N:m=gn_1$ e se $m\in\[g_2]=>EE\n_2\in\N:m=n_2g$.
ovviamente sia $n_1$, sia $n_2$ esistono e sono unici. Allora per ogni elemento di G è possibile trovare un unico elemento di N che metta in relazione questi due elementi (in quanto l'appartenenza d una classe di equivalenza è esclusiva, un elemneto non può appartenere a entrambe le classi di equivalenza ). Però $N<=G$, quindi se $AAg\in\GEEn\in\N$, gli elementi di N son gli stessi elementi di G, allora $|G/N|=1$ assurdo.
ora forse è un pò più chiara la mia domanda
grazie a tutti
"fu^2":
vi spiego il problema, l'esercizio mi chiede :
"Sia G un gruppo ed N un suo sottogruppo ($N<=G$) tali che $|G/N|=2$, dimostrare che $G/N$ è normale."
soluzione mia:
se $|G/N|=2=>G=[g_1]U[g_2]$ un modo equivalenete di provare la tesi è dimostrare che se $[g_1]=g*N$, $[g_2]!=N*g$.
Per assurdo mettiamo che $[g_1]=g*N$, $[g_2]=N*g$.
allora se $m\in\[g_1]=>EE\n_1\in\N:m=gn_1$ e se $m\in\[g_2]=>EE\n_2\in\N:m=n_2g$.
ovviamente sia $n_1$, sia $n_2$ esistono e sono unici. Allora per ogni elemento di G è possibile trovare un unico elemento di N che metta in relazione questi due elementi (in quanto l'appartenenza d una classe di equivalenza è esclusiva, un elemneto non può appartenere a entrambe le classi di equivalenza ). Però $N<=G$, quindi se $AAg\in\GEEn\in\N$, gli elementi di N son gli stessi elementi di G, allora $|G/N|=1$ assurdo.
ora forse è un pò più chiara la mia domanda
Una dimostrazione semplice e diretta...
dimostriamo che $Na = aN, AA a in G$
Se $a in N$ è ovviamente verificata, infatti $Na = aN = N$.
Se invece a non lo è allora deve essere per forza nell'altra classe di equivalenza. Quindi $Na = G\\N$ (perché le classi di equivalenza formano una partizione di G) e anche $aN = G\\N$, quindi $Na = aN = G\\N$
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