Gruppi algebra 2
Ciao a tutti.
In S5 ho a=(123)(45) e b=(12)
l'ordine di a è 6, l'ordine d b è 2. e fin qui c sono.
Detto G il sottogruppo generato da a e da b determinare l'ordine d G. Ma devo fare tutti i prodotti? cioè?
(e, a, a^2,a^3, a^4, a^5, b, ab,a^2b,a^3b, a^4b,a^5b,.... ma poi facendo tutti i calcoli vedo che ba è uguale a uo di questi prodotti... fino a ba^5. Però come faccio a saperlo senza svolgere i calcoli??
e se devo trovare il sottogruppo generato da a^2 e b?
ci sarà (e,a^2,a^4,b;a^2,a^4b,...e poi anke ba^2? ba^4??
é un mio dilemma...
Per determinare il centro d G io facevo la tabella moltiplicativa e da li verificavo quali elementi commeutavano con tt gli altri d G.. ma essendo in S^5 già ci sono pareggi prodotti, G dovrebbe avere 12 elementi...? Come devo fare? nel caso del centro dove il gruppo è fatto da matrici, n-uple ordinate faccio i prodotti e con il sistema faccio le incognite. Ma con le permutazioni non ho capito come fare correttamente l'esercizio..
Grazie
In S5 ho a=(123)(45) e b=(12)
l'ordine di a è 6, l'ordine d b è 2. e fin qui c sono.
Detto G il sottogruppo generato da a e da b determinare l'ordine d G. Ma devo fare tutti i prodotti? cioè?
(e, a, a^2,a^3, a^4, a^5, b, ab,a^2b,a^3b, a^4b,a^5b,.... ma poi facendo tutti i calcoli vedo che ba è uguale a uo di questi prodotti... fino a ba^5. Però come faccio a saperlo senza svolgere i calcoli??
e se devo trovare il sottogruppo generato da a^2 e b?
ci sarà (e,a^2,a^4,b;a^2,a^4b,...e poi anke ba^2? ba^4??
é un mio dilemma...
Per determinare il centro d G io facevo la tabella moltiplicativa e da li verificavo quali elementi commeutavano con tt gli altri d G.. ma essendo in S^5 già ci sono pareggi prodotti, G dovrebbe avere 12 elementi...? Come devo fare? nel caso del centro dove il gruppo è fatto da matrici, n-uple ordinate faccio i prodotti e con il sistema faccio le incognite. Ma con le permutazioni non ho capito come fare correttamente l'esercizio..
Grazie
Risposte
Hai provato a fare semplicemente qualche calcolo?
$ab = (123)(45)(12) = (13)(45)$ e questo ha ordine $2$
$ba = (12)(123)(45) = (23)(45)$ e questo ha ordine $2$
$b^2a = (132)(12) = (23)$ e questo ha ordine $2$
$ab^2 = (12)(132) = (13)$ ordine $2$
$b^3a = ab^3 = (12)(45)$ ordine $2$
$b^4a = (123)(12) = (13)$ che è uguale a $ab^2$
$ab^4 = (12)(123) = (23)$ che è uguale a $b^2a$
$b^5a = (132)(45)(12) = (23)(45)$ che è uguale ad $ba$
$ab^5 = (12)(132)(45) = (13)(45)$ che è uguale ad $ab$
Potevi ridurre ulteriormente i calcoli notando che $(12)$ e $(45)$ erano disgiunti, e quindi le permutazioni che uscivano erano quelle prodotte da $<(123)>$ con $<(12)>$ con o senza $(45)$.
Quindi il sottogruppo è: $\{ e, (12), (13), (23), (123), (132), (12)(45), (13)(45), (23)(45), (123)(45), (132)(45) \}$
$ab = (123)(45)(12) = (13)(45)$ e questo ha ordine $2$
$ba = (12)(123)(45) = (23)(45)$ e questo ha ordine $2$
$b^2a = (132)(12) = (23)$ e questo ha ordine $2$
$ab^2 = (12)(132) = (13)$ ordine $2$
$b^3a = ab^3 = (12)(45)$ ordine $2$
$b^4a = (123)(12) = (13)$ che è uguale a $ab^2$
$ab^4 = (12)(123) = (23)$ che è uguale a $b^2a$
$b^5a = (132)(45)(12) = (23)(45)$ che è uguale ad $ba$
$ab^5 = (12)(132)(45) = (13)(45)$ che è uguale ad $ab$
Potevi ridurre ulteriormente i calcoli notando che $(12)$ e $(45)$ erano disgiunti, e quindi le permutazioni che uscivano erano quelle prodotte da $<(123)>$ con $<(12)>$ con o senza $(45)$.
Quindi il sottogruppo è: $\{ e, (12), (13), (23), (123), (132), (12)(45), (13)(45), (23)(45), (123)(45), (132)(45) \}$
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