Gruppi abeliani

[maybe1]

Sia $(A,\cdot)$ un gruppo abeliano, detto $A

={a\inA| a^p=1}$
sono riuscita a verificare che $A

\leqA$, $A

$ è un sottogruppo caratteristico di $A$ ,
ma non riesco a mostrare che $A

\ne{1}$. Come potrei procedere?
E' una cosa vera per ogni gruppo abeliano o solo per dei casi particolari?
In realtà il gruppo $A$ su cui sto ragionando è un p-gruppo abeliano
ma, dalle parole del professore, mi è sembrato di capire che è una cosa vera per ogni gruppo abeliano.
Grazie a chi vorrà aiutarmi.

[vict85]

Indicativamente direi che hai frainteso il tuo professore perché se \(\displaystyle p \) non divide l'ordine del gruppo allora certamente \(\displaystyle A

= \{ 1\}\). Nel caso di un \(\displaystyle p \)-gruppo le cose sono banali perché se \(\displaystyle a^{p^n} = 1 \) allora \(\displaystyle a^{p^{n-1}} \in A

\) (anche nel caso di \(\displaystyle p \)-gruppi non abeliani).
Se \(\displaystyle p \) divide l'ordine del gruppo allora esistono elementi di ordine \(\displaystyle p \) (Teorema di Cauchy) (in qualsiasi gruppo). Quindi anche nel caso di gruppi abeliani hai che \(A

\neq \{1\}\) se \(p\) divide l'ordine del gruppo.

[maybe1]

grazie!