Gruppi

[antoxo1]

Salve,
sto svolgendo questo esercizio:

Sia $∗: ZZ_12$ $×$ $Z_12$ $→$ $ZZ_12$ l’operazione definita da
$a$ $∗$ $b$ $=$ $a + b + 5.$
(1) Stabilire se l’operazione è commutativa ed associativa.
(2) Determinare l’elemento neutro e stabilire se $(ZZ_12$,$∗)$ è un gruppo abeliano.
(3) Calcolare l’elemento $(4 ∗ 5)^2$.

Per il primo punto ho ragionato in questo modo:
1) - Commutativa:
$a ∗ b = b ∗ a$
$b + a + 5 = a + b + 5$ e lo è per la commutatività dell'addizione

- Associativa:
$(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)$
$a + b + c = 5 = a + b + c + 5$ ed è associativa

Ora sto avendo un po' di difficoltà nel calcolare l'elemento neutro e nel risolvere il punto 3... potreste gentilmente aiutarmi?Grazie!

[killing_buddha]

\(a+e+5\) deve fare $a$ per ogni $a$; questo implica che (sottraendo $a$ da ambo le parti di $a+e+5=a$) $e= -5$, ovvero (dato che \(-5\equiv_{12} 7\)) $e=7$.

[antoxo1]

Ho capito, grazie! Sapresti aiutarmi anche a calcolare il punto 3?

[killing_buddha]

$5 *4 $ fa $5+4+5=14$; $14 \equiv_{12}2$; $2^2=4$.