Grado di trascendenza di un dominio d'integrità

[Ext3rmin4tor]

Come argomento facoltativo per l'orale di algebra stavo provando a dimostrare la seguente Proposizione:

Sia $KK$ campo e $K[X_1 , X_2 , ... , X_n]$ il relativo anello di polinomi. Allora si consideri $F(X_1 , X_2, ... , X_n) in K[X_1 , X_2, ... , X_n]$ irriducibile e l'anello quoziente $K[X_1 , X_2 , ... , X_n]//(F(X_1, ... , X_n) = K[bar X_1, ... , bar X_n]$. Allora esso è dominio d'integrità e si può considerare il campo delle frazioni $Delta = K(bar X_1 , ... , bar X_n)$ (con $(F(X_1 , ... , X_n))$ indico l'ideale principale generato dal polinomio $F(X_1 , ... , X_n)$). Si dimostri che il grado di trascendenza di $Delta$ su $K$ è $gr.tr. _{K} Delta = n - 1 $.

Inoltre qualcuno sa dirmi se gli elementi $(bar X_1 , ... , bar X_n)$ sono algebricamente indipendenti su $K$ ?

[alberto861]

dunque non so cosa intendi per grado di trascendenza..dimmi se è la dimensione del campo dei quozienti come K-spazio vettoriale..se F è irriducibile allora l'anello quoziente è più di un dominio è un campo quindi coincide col suo campo dei quozienti..per il resto non so che dirti..se fossero i polinomi ad un'incognita allora la dimensione sarebbe deg(F) 1,x,x^2,..x^(n-1) sono indipendenti e perchè ogni polinomio di grado maggiore di F lo fattorizzo come un multiplo di F e un resto e quest'ultimo è il rappresentante di grado inferiore nell'anello quoziente decomponibile con la base 1,x,..x^(n-1)..comunque se è come ho capito io la tua ultima frase contraddice la tesi della proposizione perchè potresti tovare al più n-1 elementi indipendenti.

[Ext3rmin4tor]

"alberto86":dunque non so cosa intendi per grado di trascendenza..dimmi se è la dimensione del campo dei quozienti come K-spazio vettoriale..se F è irriducibile allora l'anello quoziente è più di un dominio è un campo quindi coincide col suo campo dei quozienti..per il resto non so che dirti..se fossero i polinomi ad un'incognita allora la dimensione sarebbe deg(F) 1,x,x^2,..x^(n-1) sono indipendenti e perchè ogni polinomio di grado maggiore di F lo fattorizzo come un multiplo di F e un resto e quest'ultimo è il rappresentante di grado inferiore nell'anello quoziente decomponibile con la base 1,x,..x^(n-1)..comunque se è come ho capito io la tua ultima frase contraddice la tesi della proposizione perchè potresti tovare al più n-1 elementi indipendenti.

Allora a me è stato definito così:

DEFINIZIONE DI ELEMENTI ALGEBRICAMENTE INDIPENDENTI:
Sia $Delta sup K$ (con entrambi campi) allora $a_1 , a_2 , ... , a_n in Delta$ si dicono algebricamente indipendenti su K se $AA F(X_1 , ... , X_n) in K[X_1 , ... , X_n]$ vale che $F(a_1 , a_2 , ... , a_n) = 0 => F(X_1 , ... , X_n) = 0$

DEFINIZIONE DI BASE DI TRASCENDENZA:
Siano $a_1 , ... , a_n$ algebricamente indipendenti su K allora essi si dicono base di trascendenza di $Delta$ su $K$ se ogni elemento di $Delta$ è algebrico sul campo delle frazioni dell'anello di polinomi $K[a_1 , ... , a_n]$

Il grado di trascendenza è il numero di elementi di una qualsiasi base di trascendenza (e in seguito ad un teorema analogo a quello di algebra lineare si dimostra che tutte le basi di trascendenza hanno lo stesso numero di elementi).
Praticamente è il concetto di base ed indipendenza lineare esteso al caso dei campi e non a semplici K-Spazi vettoriali.

La cosa che hai detto tu sui K-Spazi cmq vale solo in $K[X]$ , ovvero l'anello di polinomi ad una sola variabile, perché l'anello quoziente può essere visto come K-Spazio vettoriale. Questo è la generalizzazione all'anello di polinomi in n indeterminate (e non credo che l'anello quoziente sia un K-Spazio).

[rubik2]

ho ricevuto giusto un accenno su queste cose ed in un caso in particolare (con sole due incognite), ti dico giusto una cosa e prendila con le dovute cautele

direi che $(barX_1,\cdots,barX_n)$ sono algebricamente dipendenti perchè $F(barX_1,\cdots,barX_n)=0$, tra l'altro nel caso non fossero dipendenti il grado di trascendenza dovrebbe essere almeno n (così mi pare). appena ho tempo provo a pensare al resto ma non garantisco (nemmeno della correttezza di quello che ho scritto ora )