Grado di estensioni

[olilau]

Ciao a tutti! Non riesco a capire un passaggio su un esercizio risolto. Ho il polinomio $x^3-9$. Dopo aver calcolato il suo campo di riducibilità completa che risulta essere $QQ$( $ root(3)(9) $ ,$w$), dove $w=-1/2+i*(sqrt(3)/2)$, posso scrivere l' estensione $ QQ sub QQ(root(3)(9)) sub QQ(root(3)(9),w) $. Ho dunque che $[QQ(root(3)(9)):QQ]$ è pari a 3 poichè il polinomio $x^3-9$ ha grado 3 mentre trovo scritto che $ [QQ(root(3)(9),w):QQ(root(3)(9))]$ può essere $ \geq 2 $. Per quale motivo? Grazie mille a chi mi vorrà dare una mano!:)

[maurer]

Ti consiglio di provare a dimostrare questo lemma (e poi di ricordartelo: io lo ho usato spessissimo per studiare teoria dei campi).

Lemma. Sia [tex]F \subseteq K \subseteq L[/tex] una torre di estensioni. Sia [tex]a \in L[/tex] un elemento algebrico su [tex]F[/tex]. Allora se il grado del polinomio minimo di [tex]a[/tex] su [tex]F[/tex] è coprimo con il [tex][K][/tex], il polinomio minimo di [tex]a[/tex] su [tex]K[/tex] coincide con quello su [tex]F[/tex].

Nel tuo caso: il polinomio minimo di [tex]w[/tex] su [tex]\mathbb{Q}[/tex] ha grado [tex]2[/tex] che è coprimo con [tex][\mathbb{Q}(\sqrt[3]{9}) : \mathbb{Q}] = 3[/tex].