Grado dei polinomi negativo?

[FabJohnson78]

Salve ragazzi! Perdonatemi se la domanda sarà molto stupida, ma non riesco a venirne a capo: in virtù della definizione di campo, sul mio libro di algebra leggo che nessun polinomio di grado maggiore di 0 è invertibile. Ma perché??? Il libro dice che se i gradi di due polinomi sono m ed n, una volta moltiplicati, si avrà dunque m+n, da cui la conclusione della non invertibilità, ma mi chiedo: se m fosse 1 ed n fosse -1, cioè se ho un polinomio p(x) ed un suo inverso p(x)^-1, il loro prodotto non dovrebbe darmi l'elemento neutro? A quanto pare no, perché, da quel che ho capito p(x)^-1, non può essere considerato l'inverso di p(x). Ma come mai? Per fare un esempio banale e semplice: se p(x) è il monomio x, il suo inverso p(x)^-1 non dovrebbe essere 1/x, che moltiplicato per x, dà 1? Ho letto in giro che 1/x non può essere considerato come inverso del polinomio x, ma per quale motivo? Vi ringrazio molto dell'attenzione! Spero in una risposta!

[killing_buddha]

Rispondi alla domanda "cos'è un polinomio?" e ti sarai rispost*.

Gli elementi della forma $\sum_{i=-m}^n a_i X^i = a_{-m}/X^m + ... + a_0 + a_1 X + ... + a_n X^n$ non fanno parte dell'anello dei polinomi, bensì del suo campo dei quozienti (googla la definizione).

[FabJohnson78]

Ti ringrazio molto! In effetti non ero a conoscenza di questo campo dei quozienti, dato che non mi è stato mai spiegato. Ho cercato anche di ricondurmi alla definizione, ma purtroppo l'avrò intesa male, considerando che un polinomio è una combinazione di variabili e costanti, e quindi ho pensato che una variabile plausibile nell'anello dei polinomi, potesse essere una del tipo 1/x, che invece mi hai illustrato appartenere al campo dei quozienti. Grazie mille ancora dell'informazione!