Generico polinomio in r variabili ...
Cari ragazzi, vorrei condividere con voi una problematica di natura algebrica. Se considero un generico polinomio [tex]F(x_1,...,x_r)[/tex] in r-variabili è possibile una sua scrittura, generica, per esteso?
Risposte
Sì, se per [tex]x=(x_1,...,x_n)[/tex] e [tex]k=(k_1,...,k_n) \in \mathbb{N}^n[/tex] (qui [tex]0 \in \mathbb{N}[/tex]) definisci [tex]x^k := x_1^{k_1}...x_n^{k_n}[/tex] allora ogni polinomio nelle variabili [tex]x_1,...,x_n[/tex] è della forma [tex]\sum_{k \in \mathbb{N}^n} \lambda_k x^k[/tex], dove i [tex]\lambda_k[/tex] sono coefficienti tutti nulli tranne un numero finito.
Un polinomio a [tex]n[/tex] variabili a coefficienti in [tex]K[/tex] non è altro che una funzione [tex]\mathbb{N}^n \to K[/tex] a supporto finito, cioè l'insieme su cui assume valori non nulli (il supporto) è finito. A una tale funzione [tex]f[/tex] corrisponde il polinomio [tex]\sum_{k \in \mathbb{N}^n} f(k) x^k[/tex], mentre se [tex]F[/tex] è un polinomio allora la funzione [tex]\mathbb{N}^n \to K[/tex] a cui corrisponde è quella che manda [tex]k[/tex] nel coefficiente di [tex]x^k[/tex] in [tex]F[/tex].
Un polinomio a [tex]n[/tex] variabili a coefficienti in [tex]K[/tex] non è altro che una funzione [tex]\mathbb{N}^n \to K[/tex] a supporto finito, cioè l'insieme su cui assume valori non nulli (il supporto) è finito. A una tale funzione [tex]f[/tex] corrisponde il polinomio [tex]\sum_{k \in \mathbb{N}^n} f(k) x^k[/tex], mentre se [tex]F[/tex] è un polinomio allora la funzione [tex]\mathbb{N}^n \to K[/tex] a cui corrisponde è quella che manda [tex]k[/tex] nel coefficiente di [tex]x^k[/tex] in [tex]F[/tex].
Chiedo venia, Martino, ma [tex]\displaystyle\sum_{k \in \mathbb{N} } \lambda_k x^k[/tex] non rappresenta un polinomio nella sola variabile x?
"menale":[tex]x=(x_1,...,x_n)[/tex]. E [tex]k[/tex] non varia in [tex]\mathbb{N}[/tex] ma in [tex]\mathbb{N}^n[/tex]. Ti dispiacerebbe rileggere quello che ho scritto? Ho dato tutte le definizioni
Chiedo venia, Martino, ma [tex]\displaystyle\sum_{k \in \mathbb{N} } \lambda_k x^k[/tex] non rappresenta un polinomio nella sola variabile x?
"Martino":[tex]x=(x_1,...,x_n)[/tex]. E [tex]k[/tex] non varia in [tex]\mathbb{N}[/tex] ma in [tex]\mathbb{N}^n[/tex]. Ti dispiacerebbe rileggere quello che ho scritto? Ho dato tutte le definizioni
[quote="menale"]Chiedo venia, Martino, ma [tex]\displaystyle\sum_{k \in \mathbb{N} } \lambda_k x^k[/tex] non rappresenta un polinomio nella sola variabile x?
[/quote]Hai perfettamente ragione, Martino. Ho errato io nel leggere troppo celermente il tutto. Quindi quella [tex]x[/tex] posta in definizione devo leggerla vettorialmente.
P.S.Grazie di tutto, Martino. 
Prego, ma grazie di cosa?
Delle informazioni da te concesse. 
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