Generatori e periodo classe di resto
Ciao, non riesco a capire come individuare i generatori e il periodo di una classe di resto, ho cercato sulle dispense del docente e su internet ma non ho trovato nulla che mi aiutasse.
In $ Z_4={[0],[1],[2], [3],} $ i generatori sono $ [1] $ e $ [3] $ ma perché?
Secondo le mie dispense un generatore è un elemento $ g ∈ Z_n $ , tale che $ Z_n = {..., g^-2, g^-1, g^0, g^1, g^2,...} $
Tuttavia non capisco come questi due elementi possano generare l'intero gruppo ciclico.
Poi, il periodo è il più piccolo $ n $ tale che $g^n = 1_Zn$ ovvero $[0]$ giusto? Quindi nel caso di $Z_4$ il periodo quale dovrebbe essere?
Grazie in anticipo!
In $ Z_4={[0],[1],[2], [3],} $ i generatori sono $ [1] $ e $ [3] $ ma perché?
Secondo le mie dispense un generatore è un elemento $ g ∈ Z_n $ , tale che $ Z_n = {..., g^-2, g^-1, g^0, g^1, g^2,...} $
Tuttavia non capisco come questi due elementi possano generare l'intero gruppo ciclico.
Poi, il periodo è il più piccolo $ n $ tale che $g^n = 1_Zn$ ovvero $[0]$ giusto? Quindi nel caso di $Z_4$ il periodo quale dovrebbe essere?
Grazie in anticipo!
Risposte
Nel caso di (Z4 +) il gruppo è formato dai seguenti elementi 0,1,2,3 ed essendo un gruppo
(Zn +) esso è sempre un gruppo ciclico, generato dall'elemento 1.
Il periodo è il più piccolo esponente a cui l'elemento deve essere elevato a potenza per ottenere l'elemento neutro, che nel caso dei gruppi additivi è 0.
Ora poiché si parla di un gruppo additivo le potenze sono in realtà i multipli degli esponenti. Calcoliamo adesso i generatori
0 è il neutro e genera solo se stesso
1^1=1 1^2=2 1^3=3 1^4=4 4mod4=0 --> 1 è quindi un generatore del gruppo
2^1=2 2^2=4 4 mod 4 = 0 quindi 4 ha periodo 2 in quanto elevando 2 al quadrato abbiamo il neutro del gruppo additivo che in questo caso è 0
3^1=3 3^2=6 6mod4=2 3^3=9 9mod4=1 3^4=12 12mod4=0 3 è quindi un generatore.
I generatori del gruppo sono quindi 1 e 3 in quanto elevando a potenza siamo riusciti ad ottenere tutti gli elementi di Z4
(Zn +) esso è sempre un gruppo ciclico, generato dall'elemento 1.
Il periodo è il più piccolo esponente a cui l'elemento deve essere elevato a potenza per ottenere l'elemento neutro, che nel caso dei gruppi additivi è 0.
Ora poiché si parla di un gruppo additivo le potenze sono in realtà i multipli degli esponenti. Calcoliamo adesso i generatori
0 è il neutro e genera solo se stesso
1^1=1 1^2=2 1^3=3 1^4=4 4mod4=0 --> 1 è quindi un generatore del gruppo
2^1=2 2^2=4 4 mod 4 = 0 quindi 4 ha periodo 2 in quanto elevando 2 al quadrato abbiamo il neutro del gruppo additivo che in questo caso è 0
3^1=3 3^2=6 6mod4=2 3^3=9 9mod4=1 3^4=12 12mod4=0 3 è quindi un generatore.
I generatori del gruppo sono quindi 1 e 3 in quanto elevando a potenza siamo riusciti ad ottenere tutti gli elementi di Z4
Grazie per la risposta, esiste un modo per verificare se un determinato elemento è un generatore senza dover fare tutti questi procedimenti?
Per quanto riguarda i gruppi additivi sono generatori i numeri primi con n, infatti in Z4 i generatori sono 1 e 3.
Grazie mille!
Domanda superveloce, ma i generatori coincidono con gli elementi invertibili in Zn?
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