Generatori di un gruppo e Teorema di Lagrange
Ciao a tutti 
Questo è il mio primo messaggio. Mi presenterò appena posso nell'apposita sezione. Vi seguo da un po' ma cercavo l'occasione giusta per iscrivermi, ed è arrivato il momento, dato che ho una perplessità, purtroppo abbastanza banale, circa l'individuazione dei generatori di un determinato gruppo.
Consideriamo, ad esempio, il gruppo $(ZZ 8, +)$.
Una osservazione, conseguenza del Teorema di Lagrange, stabilisce che: dato un gruppo finito di cardinalità $n$ i suoi generatori, se esistono, sono gli elementi del gruppo che hanno periodo $n$.
Ciò che non mi quadra affatto è che, se così fosse, qualsiasi elemento di $ZZ8$ dovrebbe essere un generatore del gruppo in questione.
Ad esempio si avrebbe $[2] * [8] = [16] = [0]$, dove $0$ è l'elemento neutro (il periodo di $2$ sarebbe $8$). Così come $[4] * [8] = [32] = [0]$ (il periodo di $4$ sarebbe $8$). Ma $[2]$ e $[4]$ non sono dei generatori del gruppo.
Spero che il messaggio sia chiaro. Purtroppo ho un po' di confusione su questo argomento.
Grazie mille in anticipo
Questo è il mio primo messaggio. Mi presenterò appena posso nell'apposita sezione. Vi seguo da un po' ma cercavo l'occasione giusta per iscrivermi, ed è arrivato il momento, dato che ho una perplessità, purtroppo abbastanza banale, circa l'individuazione dei generatori di un determinato gruppo.
Consideriamo, ad esempio, il gruppo $(ZZ 8, +)$.
Una osservazione, conseguenza del Teorema di Lagrange, stabilisce che: dato un gruppo finito di cardinalità $n$ i suoi generatori, se esistono, sono gli elementi del gruppo che hanno periodo $n$.
Ciò che non mi quadra affatto è che, se così fosse, qualsiasi elemento di $ZZ8$ dovrebbe essere un generatore del gruppo in questione.
Ad esempio si avrebbe $[2] * [8] = [16] = [0]$, dove $0$ è l'elemento neutro (il periodo di $2$ sarebbe $8$). Così come $[4] * [8] = [32] = [0]$ (il periodo di $4$ sarebbe $8$). Ma $[2]$ e $[4]$ non sono dei generatori del gruppo.
Spero che il messaggio sia chiaro. Purtroppo ho un po' di confusione su questo argomento.
Grazie mille in anticipo
Risposte
Il periodo è il più piccolo intero $k$ tale che $ak=0$. Nel tuo caso non è vero questo, infatti $2*4=0$, $4*2=0$.
Ah, è vero. Come prevedevo il mio quesito era veramente banale. Non ho ben applicato la definizione... Grazie mille 
Di niente e buono studio 
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