Generatori di un gruppo di ordine $n=p_1\cdotsp_k$
Preso un gruppo G di ordine $n=p_1\cdotsp_k$ per certi primi $p_i$ NON NECESSARIAMENTE DISTINTI.
Dimostrare che G si può generare con k elementi, cioè esistono $g_i\in G, i=1...k$ tali che $G=
Potrebbe esserci due modi per dimostrarlo, uno usando Teoremi Silow, e uno sfruttando regole meno potenti di teo dei gruppi.
Dimostriamo prima il caso in cui i primi siano distinti!
Allora per Cauchy se $p_i | |G|$ allora esiste un elemento $g_i\inG$ di ordine $p_i$.
Ma allora esistono $g_1,...,g_k$ elementi, con ordini coprimi tra di loro, ognuno dei quali genera un sottogruppo ciclico di ordine $p_i$. Otteniamo $1+ (p_1-1) + ... + (p_k-1)$ elementi distinti perchè se $g_{i}ì{n}=g_{j}^{m}$ allora avrei che $g_i\in$ assurdo.
Ora possiamo moltiplicare questi elementi tra di loro, e ne otterro N distinti perchè è come se fossero linearmente indipendenti... ?
quindi ne trovo $p_1\cdotsp_k = |G|$. Ma allora $G=$ .
Mmm.. non so se è convinvincente....
Nel caso non fossero distinti??
Dimostrare che G si può generare con k elementi, cioè esistono $g_i\in G, i=1...k$ tali che $G=
Potrebbe esserci due modi per dimostrarlo, uno usando Teoremi Silow, e uno sfruttando regole meno potenti di teo dei gruppi.
Dimostriamo prima il caso in cui i primi siano distinti!
Allora per Cauchy se $p_i | |G|$ allora esiste un elemento $g_i\inG$ di ordine $p_i$.
Ma allora esistono $g_1,...,g_k$ elementi, con ordini coprimi tra di loro, ognuno dei quali genera un sottogruppo ciclico di ordine $p_i$. Otteniamo $1+ (p_1-1) + ... + (p_k-1)$ elementi distinti perchè se $g_{i}ì{n}=g_{j}^{m}$ allora avrei che $g_i\in
Ora possiamo moltiplicare questi elementi tra di loro, e ne otterro N distinti perchè è come se fossero linearmente indipendenti... ?
quindi ne trovo $p_1\cdotsp_k = |G|$. Ma allora $G=
Mmm.. non so se è convinvincente....
Nel caso non fossero distinti??
Risposte
Siccome ogni gruppo finito è generato dai suoi sottogruppi di Sylow (perché? Prova ad adattare il tuo argomento per il caso in cui i [tex]p_i[/tex] sono distinti!), ti puoi ricondurre al caso in cui non solo i [tex]p_i[/tex] non sono necessariamente distinti, ma sono addirittura tutti uguali 
Ogni gruppo G finito ammette un certo numero (di cui abbiamo informazioni...) di p-Silow, cioè sottogruppi di ordine $p_i^{n_i}$ con $n_i$ massimale.
Nel caso in cui $|G|$ è prodotto di primi distinti allora ci sta dicendo che esiste un unico (perchè il numero di p-silow deve dividere $n_i=1$) p-Silow di ordine $p_i$ per ogni i. E quindi necessariamente $G=\times\cdots\times$ con $g_i$ generatori di quel p-silow.
Giusto?
Non ho capito come generalizare:
cioè dico che esiste almeno un p-silow, quindi ho un sottogruppo di ordine $p^m$ (che è la max potenza che divide l ordine di G) e quindi G è prodotto diretto dei p-silow? mmmm
Nel caso in cui $|G|$ è prodotto di primi distinti allora ci sta dicendo che esiste un unico (perchè il numero di p-silow deve dividere $n_i=1$) p-Silow di ordine $p_i$ per ogni i. E quindi necessariamente $G=
Giusto?
Non ho capito come generalizare:
cioè dico che esiste almeno un p-silow, quindi ho un sottogruppo di ordine $p^m$ (che è la max potenza che divide l ordine di G) e quindi G è prodotto diretto dei p-silow? mmmm
"crypto4":
Nel caso in cui $|G|$ è prodotto di primi distinti allora ci sta dicendo che esiste un unico (perchè il numero di p-silow deve dividere $n_i=1$) p-Silow di ordine $p_i$ per ogni i.
no ho detto una cazzata!
dunque se $T$ è il numero di p-silow di G allora
$T \equiv 1 mod p$ e $T | |G|$. ... quindi non concludo molto....
Non ho capito cosa stai facendo. Ti proponevo di dimostrare questo:
Proposizione. Ogni gruppo finito è generato dai suoi sottogruppi di Sylow. In altre parole l'unico sottogruppo di [tex]G[/tex] che contiene tutti i sottogruppi di Sylow di [tex]G[/tex] è [tex]G[/tex] stesso.
Se ci pensi è un fatto banale: se un sottogruppo [tex]H \leq G[/tex] contiene TUTTI i sottogruppi di Sylow allora il suo ordine è divisibile per ... e quindi ...
Proposizione. Ogni gruppo finito è generato dai suoi sottogruppi di Sylow. In altre parole l'unico sottogruppo di [tex]G[/tex] che contiene tutti i sottogruppi di Sylow di [tex]G[/tex] è [tex]G[/tex] stesso.
Se ci pensi è un fatto banale: se un sottogruppo [tex]H \leq G[/tex] contiene TUTTI i sottogruppi di Sylow allora il suo ordine è divisibile per ... e quindi ...
Ah beh certo..
Sapendo che esistono i p-silow per ogni p divisore di $|G|$ allora se H sottogruppo li contiene tutti (come sottogruppi!!!!!) allora $p_1\cdotsp_k=|G| | |H|$. Ma $|H| | |G|$ quindi $H=G$.
Quindi G è generato dai p-silow perchè è il più piccolo sottogruppo di G che li contiene tutti, o meglio è l'intersezione di tutti i sottogruppi contenenti i p-silow.
Ma da ciò cosa ne deduco? se un p-silow fosse ciclico allora avrei k generatori e ok. Ma un p-silow non è detto che sia ciclico! Quindi come concludo che ho al più k generatori?
Sapendo che esistono i p-silow per ogni p divisore di $|G|$ allora se H sottogruppo li contiene tutti (come sottogruppi!!!!!) allora $p_1\cdotsp_k=|G| | |H|$. Ma $|H| | |G|$ quindi $H=G$.
Quindi G è generato dai p-silow perchè è il più piccolo sottogruppo di G che li contiene tutti, o meglio è l'intersezione di tutti i sottogruppi contenenti i p-silow.
Ma da ciò cosa ne deduco? se un p-silow fosse ciclico allora avrei k generatori e ok. Ma un p-silow non è detto che sia ciclico! Quindi come concludo che ho al più k generatori?
Scrivi [tex]|G|=p_1^{a_1} ... p_t^{a_t}[/tex] coi [tex]p_i[/tex] primi a due a due distinti. Scegli [tex]P_1, ..., P_t[/tex] sottogruppi di Sylow tali che [tex]|P_i|=p_i^{a_i}[/tex] per [tex]i=1, ..., t[/tex] (non c'è un unico modo di sceglierli). Puoi osservare che l'argomento che ti ho suggerito dimostra che non solo [tex]G[/tex] è generato da tutti i suoi sottogruppi di Sylow, ma per generarlo bastano [tex]P_1, ..., P_t[/tex].
Ora il passo successivo è il seguente: il fatto che [tex]G[/tex] è generato da [tex]\sum_{i=1}^t a_i[/tex] elementi (che è quello che vuoi dimostrare!) segue dal seguente fatto, che è la stessa versione di questo problema con [tex]t=1[/tex]:
Fatto. Se un gruppo [tex]G[/tex] ha ordine [tex]p^n[/tex] con [tex]p[/tex] primo allora [tex]G[/tex] può essere generato da [tex]n[/tex] elementi.
Infatti da questo (che è facile da dimostrare!) deduci che ogni [tex]P_i[/tex] è generato da [tex]a_i[/tex] elementi e quindi siccome [tex]\langle P_1, ..., P_t \rangle = G[/tex], mettendo insieme tutti questi elementi ottieni il risultato.
Ora il passo successivo è il seguente: il fatto che [tex]G[/tex] è generato da [tex]\sum_{i=1}^t a_i[/tex] elementi (che è quello che vuoi dimostrare!) segue dal seguente fatto, che è la stessa versione di questo problema con [tex]t=1[/tex]:
Fatto. Se un gruppo [tex]G[/tex] ha ordine [tex]p^n[/tex] con [tex]p[/tex] primo allora [tex]G[/tex] può essere generato da [tex]n[/tex] elementi.
Infatti da questo (che è facile da dimostrare!) deduci che ogni [tex]P_i[/tex] è generato da [tex]a_i[/tex] elementi e quindi siccome [tex]\langle P_1, ..., P_t \rangle = G[/tex], mettendo insieme tutti questi elementi ottieni il risultato.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo