Generatore di gruppo ciclico, elemento inverso, sottocampi
Ciao ragazzi/e! Mi sono imbattuto in questo esercizio che ho risolto per metà, il resto ho provato ma senza successo
(1) $f$ è irriducibile in $Z$/$2Z$ allora $F$ è un campo e $[F]=deg f=3$ quindi $F~=K^3$ e possiede $2^3=8$ elementi che dovrebbero essere una sorta di combinazioni lineari (confermate?) degli elementi delle basi di $Z$/$2Z$ e $Z$/$2Z$/$(f)$ che sono rispettivamente ${0,1}$ e ${1,x,x^2}$, quindi:
$F={0,1,x,x+1,x^2,x^2+1,x^2+x,x^2+x+1}$
(2) Qua non sapevo come procedere seguendo la teoria, a intuito ho preso l'elemento $x+1$ e ho studiato le potenze $(x+1)^t$ con $t=0,...,6$ studiandole nel caso $mod f$ e contemporaneamente $mod 2$ (aiutandomi con wolframalpha nei casi con esponente dal 3 al 6), non so quanto sia lecita questa modus operandi ma non sapevo come altro fare, sapete che metodo consigliarmi qua? Ciò che è uscito sembra comunque avere un senso, infatti:
$(x+1)^0=1$
$(x+1)^1=x+1$
$(x+1)^2=x^2+2x+1=x^2+1$
$(x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1=3x^2+2x=x^2$
$(x+1)^4=...=5x^2-x-3=x^2+x+1$
$(x+1)^5=...=4x^2-9x-8=x$
$(x+1)^6=...=-5x^2-21x-12=x^2+x$
Dunque l'elemento $x+1$ sembra essere il generatore dell'insieme $F\\{0}$.
(3) Ho provato a moltiplicare $x+1$ per ogni elemento di $F$ e a calcolarne il $mod f$ ma in nessun caso usciva $1$, quindi non sono riuscito a trovare il suo inverso, come devo fare qua?
(4) So che un sottoinsieme di un campo è un sottocampo se gli appartiene l'elemento neutro $1$ e se è un campo rispetto alle operazioni definite nel campo.
In un altro modo si può dire che un sottoinsieme $B$ di un campo $A$ è un sottocampo se e solo se:
- $(B,+)$ è un sottogruppo del gruppo abeliano $(A,+)$
- $(B\\{0},*)$ è un sottogruppo del gruppo abeliano $(A\\{0},*)$
Tuttavia non so come utilizzare queste informazioni per risolvere l'esercizio, idee?
Sia $F = K[x]$/$(f)$ dove $K = Z$/$2Z$ e $f = x^3 + x + 1$.
(1) Determinare tutti gli elementi di $F$.
(2) Determinare un generatore del gruppo ciclico $(F\\{0}, ·)$, ovvero un elemento $α ∈ F$ tale che $F\\{0} =< α > = {1, α, α^2
, . . .}$.
(3) Quale degli elementi di $F$ elencati nel punto (1) è l’elemento inverso $(1 + α)^(−1)$ di $1 + α$?
(4) Determinare tutti i sottocampi di $F$.
(1) $f$ è irriducibile in $Z$/$2Z$ allora $F$ è un campo e $[F]=deg f=3$ quindi $F~=K^3$ e possiede $2^3=8$ elementi che dovrebbero essere una sorta di combinazioni lineari (confermate?) degli elementi delle basi di $Z$/$2Z$ e $Z$/$2Z$/$(f)$ che sono rispettivamente ${0,1}$ e ${1,x,x^2}$, quindi:
$F={0,1,x,x+1,x^2,x^2+1,x^2+x,x^2+x+1}$
(2) Qua non sapevo come procedere seguendo la teoria, a intuito ho preso l'elemento $x+1$ e ho studiato le potenze $(x+1)^t$ con $t=0,...,6$ studiandole nel caso $mod f$ e contemporaneamente $mod 2$ (aiutandomi con wolframalpha nei casi con esponente dal 3 al 6), non so quanto sia lecita questa modus operandi ma non sapevo come altro fare, sapete che metodo consigliarmi qua? Ciò che è uscito sembra comunque avere un senso, infatti:
$(x+1)^0=1$
$(x+1)^1=x+1$
$(x+1)^2=x^2+2x+1=x^2+1$
$(x+1)^3=x^3+3x^2+3x+1=3x^2+2x=x^2$
$(x+1)^4=...=5x^2-x-3=x^2+x+1$
$(x+1)^5=...=4x^2-9x-8=x$
$(x+1)^6=...=-5x^2-21x-12=x^2+x$
Dunque l'elemento $x+1$ sembra essere il generatore dell'insieme $F\\{0}$.
(3) Ho provato a moltiplicare $x+1$ per ogni elemento di $F$ e a calcolarne il $mod f$ ma in nessun caso usciva $1$, quindi non sono riuscito a trovare il suo inverso, come devo fare qua?
(4) So che un sottoinsieme di un campo è un sottocampo se gli appartiene l'elemento neutro $1$ e se è un campo rispetto alle operazioni definite nel campo.
In un altro modo si può dire che un sottoinsieme $B$ di un campo $A$ è un sottocampo se e solo se:
- $(B,+)$ è un sottogruppo del gruppo abeliano $(A,+)$
- $(B\\{0},*)$ è un sottogruppo del gruppo abeliano $(A\\{0},*)$
Tuttavia non so come utilizzare queste informazioni per risolvere l'esercizio, idee?
Risposte
Ciao 
Sto studiando anche io queste cose, provo a darti una mano
1)Sì corretto, tranne per le basi: tu devi vedere $Z_2[x]//(f)$ come spazio vettoriale su $Z_2$ quindi una sua base è $B = {1, x, x^2}$. Inoltre osserva che se vedi $Z_2$ come spazio vettoriale su $Z_2$ allora ${0, 1}$ non sarà mai una base, primo perché contiene il vettore nullo, secondo perché $Z_2$ ha dimensione $1$ su $Z_2$.
2)Un generatore di $F_{p^n}^**$ è una radice $\alpha$ del polinomio irriducibile di grado $n$ su $Z_p$ per cui quozienti, altri generatori sono le potenze $\alpha^{p^i}$ con $1<= i <= n-1$. Prendiamo $F_{p^3}$, lui è anche campo di spezzamento di $x^8 - x$ che ha come fattore $x^3 + x + 1$, quindi ha una radice in comune con quest'ultimo. Sia $\alpha != 0, 1$ tale radice, allora sai che $\alpha^7 - 1 = 0$ ovvero $\alpha^7 = 1$.
Comunque osserva che $|\mathbb{F_8}^**| = 7 \Rightarrow$ ha $\phi(7) = 6$ generatori, quindi basta prendere un qualsiasi elemento di $\mathbb{F_8}^**$ diverso da $1$.
3)Usa il lemma di bezout! Sai che $(x+1, x^3 + x + 1) = 1$, applica l'algoritmo di euclide, trova i coefficienti di bezout e poi vedi l'uguaglianza che ti viene nel quoziente. Insomma se chiamo $f = x^3 + x + 1$, $g = x+1$ dovresti trovare $h, k \in Z_2[x]$ tali che $f*h + g*k = 1$, se adesso vedi quest'uguaglianza modulo $f$(ossia la vedi nel quoziente $Z_2[x]//(f)$), allora hai $g*k = 1$, dunque $k$ è l'inverso di $g$.
4)$F_{p^m}$ è un sottocampo di $F_{p^n} \iff m | n$, nel nostro caso $n = 3$ che è primo quindi gli unici sottocampi sono $F_2 = Z_2$ e $F_8$.
Spero di non aver scritto stupidaggini, ciao!
Sto studiando anche io queste cose, provo a darti una mano
1)Sì corretto, tranne per le basi: tu devi vedere $Z_2[x]//(f)$ come spazio vettoriale su $Z_2$ quindi una sua base è $B = {1, x, x^2}$. Inoltre osserva che se vedi $Z_2$ come spazio vettoriale su $Z_2$ allora ${0, 1}$ non sarà mai una base, primo perché contiene il vettore nullo, secondo perché $Z_2$ ha dimensione $1$ su $Z_2$.
2)Un generatore di $F_{p^n}^**$ è una radice $\alpha$ del polinomio irriducibile di grado $n$ su $Z_p$ per cui quozienti, altri generatori sono le potenze $\alpha^{p^i}$ con $1<= i <= n-1$. Prendiamo $F_{p^3}$, lui è anche campo di spezzamento di $x^8 - x$ che ha come fattore $x^3 + x + 1$, quindi ha una radice in comune con quest'ultimo. Sia $\alpha != 0, 1$ tale radice, allora sai che $\alpha^7 - 1 = 0$ ovvero $\alpha^7 = 1$.
Comunque osserva che $|\mathbb{F_8}^**| = 7 \Rightarrow$ ha $\phi(7) = 6$ generatori, quindi basta prendere un qualsiasi elemento di $\mathbb{F_8}^**$ diverso da $1$.
3)Usa il lemma di bezout! Sai che $(x+1, x^3 + x + 1) = 1$, applica l'algoritmo di euclide, trova i coefficienti di bezout e poi vedi l'uguaglianza che ti viene nel quoziente. Insomma se chiamo $f = x^3 + x + 1$, $g = x+1$ dovresti trovare $h, k \in Z_2[x]$ tali che $f*h + g*k = 1$, se adesso vedi quest'uguaglianza modulo $f$(ossia la vedi nel quoziente $Z_2[x]//(f)$), allora hai $g*k = 1$, dunque $k$ è l'inverso di $g$.
4)$F_{p^m}$ è un sottocampo di $F_{p^n} \iff m | n$, nel nostro caso $n = 3$ che è primo quindi gli unici sottocampi sono $F_2 = Z_2$ e $F_8$.
Spero di non aver scritto stupidaggini, ciao!
Grazie della risposta anche qua Shocker ^^q
(1) ma quindi una base di $Z \/2Z$ qual'è?
(2) non è ben capito il ragionamento, io so che: p è primo e che $F$ ha $2^3$ elementi, allora $F$ è un campo di Galois di ordine $2^8$ ed è CRC di $f=x^2^3-x$ su $Z \/2Z$. Però non so come usare questa informazione e non capisco bene il tuo ragionamento hai usato qualche teorema?
Ah e alla fine dici che $|F_8|=7$ ma non abbiamo trovato che è $8$ ?
(3) ah giusto l'identità di bezout! Ho fatto e trovato che l'inverso è $x^2+x$
(4) non avevo mai sentito quella definizione per sottocampo! Da dove l'hai presa se posso chiedere? Così potrò approfondire
Grazie ancora della risposta!
(1) ma quindi una base di $Z \/2Z$ qual'è?
(2) non è ben capito il ragionamento, io so che: p è primo e che $F$ ha $2^3$ elementi, allora $F$ è un campo di Galois di ordine $2^8$ ed è CRC di $f=x^2^3-x$ su $Z \/2Z$. Però non so come usare questa informazione e non capisco bene il tuo ragionamento hai usato qualche teorema?
Ah e alla fine dici che $|F_8|=7$ ma non abbiamo trovato che è $8$ ?
(3) ah giusto l'identità di bezout! Ho fatto e trovato che l'inverso è $x^2+x$
(4) non avevo mai sentito quella definizione per sottocampo! Da dove l'hai presa se posso chiedere? Così potrò approfondire
Grazie ancora della risposta!
Ciao
Allora noi stavamo considerando $Z_2$ come spazio vettoriale su $Z_2$ quindi una sua base è ${1}$.
Per quanto riguarda il punto $2$ devo fare una correzione, questa frase:
non fornisce un metodo per trovare trovare un generatore, o meglio, lo fornisce solo se sai che il polinomio è "primitivo" e in generale stabilire se un polinomio è primitivo o meno è un problema difficile(per quanto ne so al momento). Ti chiedo scusa per la svista.
Quindi torniamo sul punto $2$ e vediamo di risolverlo in un altro modo: innanzitutto io ho scritto che $|F_{p^8}^**| = 7$(nota l'asterisco in alto a destra) cioè ho scritto che la cardinalità del gruppo moltiplicativo di $F_{p^8}$ è $7$. Quindi tale gruppo, essendo ciclico, ha $\phi(7) = 6$ generatori e quindi basta prendere un qualsiasi elemento di $F_{p^8}^**$ diverso da $1$(visto che $1$ di certo non lo genera).
Non è una definizione ma un teorema, una dimostrazione è contenuta in questa dispensa(pagina 5, teorema 2.8).
Di nulla! E' sempre un piacere confrontarsi!
"Rabelais":
Grazie della risposta anche qua Shocker ^^q
(1) ma quindi una base di $Z \/2Z$ qual'è?
Allora noi stavamo considerando $Z_2$ come spazio vettoriale su $Z_2$ quindi una sua base è ${1}$.
(2) non è ben capito il ragionamento, io so che: p è primo e che $F$ ha $2^3$ elementi, allora $F$ è un campo di Galois di ordine $2^8$ ed è CRC di $f=x^2^3-x$ su $Z \/2Z$. Però non so come usare questa informazione e non capisco bene il tuo ragionamento hai usato qualche teorema?
Ah e alla fine dici che $|F_8|=7$ ma non abbiamo trovato che è $8$ ?
Per quanto riguarda il punto $2$ devo fare una correzione, questa frase:
Un generatore di F∗pn è una radice α del polinomio irriducibile di grado n su Zp per cui quozientiè vera solo se il polinomio per cui quozienti è primitivo. In questo contesto un polinomio irriducibile si dice primitivo se una sua radice genera il gruppo moltiplicativo del suo campo di spezzamento. Nel nostro caso $f$ è primitivo se $x$ genera il gruppo $F_{p^8}^**$, nota che non tutti i polinomi irriducibili sono primitivi. Quindi questa parte:
2)Un generatore di $ F_{p^n}^** $ è una radice $ \alpha $ del polinomio irriducibile di grado $ n $ su $ Z_p $ per cui quozienti, altri generatori sono le potenze $ \alpha^{p^i} $ con $ 1<= i <= n-1 $. Prendiamo $ F_{p^3} $, lui è anche campo di spezzamento di $ x^8 - x $ che ha come fattore $ x^3 + x + 1 $, quindi ha una radice in comune con quest'ultimo. Sia $ \alpha != 0, 1 $ tale radice, allora sai che $ \alpha^7 - 1 = 0 $ ovvero $ \alpha^7 = 1 $.
non fornisce un metodo per trovare trovare un generatore, o meglio, lo fornisce solo se sai che il polinomio è "primitivo" e in generale stabilire se un polinomio è primitivo o meno è un problema difficile(per quanto ne so al momento). Ti chiedo scusa per la svista.
Quindi torniamo sul punto $2$ e vediamo di risolverlo in un altro modo: innanzitutto io ho scritto che $|F_{p^8}^**| = 7$(nota l'asterisco in alto a destra) cioè ho scritto che la cardinalità del gruppo moltiplicativo di $F_{p^8}$ è $7$. Quindi tale gruppo, essendo ciclico, ha $\phi(7) = 6$ generatori e quindi basta prendere un qualsiasi elemento di $F_{p^8}^**$ diverso da $1$(visto che $1$ di certo non lo genera).
(4) non avevo mai sentito quella definizione per sottocampo! Da dove l'hai presa se posso chiedere? Così potrò approfondire
Non è una definizione ma un teorema, una dimostrazione è contenuta in questa dispensa(pagina 5, teorema 2.8).
Di nulla! E' sempre un piacere confrontarsi!
Ah si giusto, penso di aver capito tutto ora, grazie anche per il link al pdf!!
Non sapevo che per i gruppi ciclici la funzione di eulero indicasse il numero di generatori!
Fantastico grazie anche di questo trucchetto!
Non sapevo che per i gruppi ciclici la funzione di eulero indicasse il numero di generatori!
Fantastico grazie anche di questo trucchetto!
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