Gemma: nuova dimostrazione del teorema di Cantor

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Una nuova dimostrazione del teorema di Cantor, dovuta N. Raja, 2005.



Teorema. Sia $X$ un insieme e $f: X-> P(X)$. Esiste $N\subseteq X$ che non appartiene all'immagine di $f$.

Prova.

Definizione Una traccia e' una sequenza (finita o infinita) di elementi di $X$ $s_0,s_1,s_2,...$ tale che, per ogni $i\in NN$, $s_{i+1}\in f(s_i)$.
Un elemento $s\in X$ si dice semplice se ogni traccia che inizia con $s$ e' finita.

Sia $N$ l'insieme degli elementi semplici. Supponiamo per assurdo che esista $n\in X$ tale che $f(n)=N$. Osserviamo che $n$ e' semplice, perche' il secondo elemento di ogni traccia che inizia con $n$ e' semplice, e quindi la detta traccia e' finita; dunque $n\in N=f(n)$. Ma allora la sequenza $n,n,n,....$ e' una traccia infinita: assurdo.

[G.D.5]

Bella. Non la conoscevo. Grazie per averci erudito!

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De nada Il teorema di Cantor e' uno dei piu' profondi di sempre: merita.

[Studente Anonimo]

Costruttiva!

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"Martino":Costruttiva!

Yep! Nulla di nuovo pero', anche la dimostrazione per diagonalizzazione si puo' formulare costruttivamente (poni $N=\{\x | x\notin f(x)}$ e hai un insieme che non e' nell'immagine di $f$, quale che sia $f$), anche se per qualche (assurdo ) motivo molti la presentano per assurdo.

[alvinlee881]

Uao proprio bella! Thanks fields