GAP monocromatici
Dati \( d, k_1,\ldots, k_d \in \mathbb{N} \) un \((k_1,\ldots,k_d)\)-GAP (generalized arhitmetic progression) è definita essere l'insieme della forma
\[ \{ a + u_1j_1 + \ldots + u_dj_d : \text{ per ogni } 1 \leq i \leq d \text{ abbiamo } 0\leq j_i \leq k_i-1 \} \]
dove \( a,u_1,\ldots,u_d \in \mathbb{N} \).
Dimostra che per ogni \( d, k_1,\ldots, k_d \) e per ogni colorazione finita di \( \mathbb{N} \) allora esiste un \((k_1,\ldots,k_d)\) GAP monocromatica.
Hint: usa il fatto che per ogni insieme piecewise syndetic \(A\subset \mathbb{N} \) esistono \(d \in \mathbb{N} \) e un insieme \(B \subseteq \mathbb{N} \) piecewise syndetic tale che per ogni \(b \in B \) abbiamo che
\( \{ b+r, b+2r,\ldots, b+kr \} \subseteq A \)
Io ho pensato di fare per induzione su \(d\), sappiamo che se \(d=1 \) è vero per il teorema di Waerden. Supponiamo che sia vero per \(d \geq 1 \) allora in qualche modo voglio prendere \( \mathbb{N} \) che è piecewise syndetic, so che esiste un sottoinsieme monocromatico di \(A\) poiché la famiglia di insiemi piecewise syndetic è partition regular. Quindi Prendo \(A\) e ora so che esiste un intero \( r \) e un insieme piecwise syndetic \(B \subset \mathbb{N} \) tale che per ogni \(b \in B \) abbiamo
\[ \{ b + r , b+2r,\ldots, b+kr \} \subset A \]
ora se il mio \( (k_1,\ldots,k_d)\)-GAP è contenuto in \(B\) e anche in \(A\) ho finito poiché ho trovato allora un \( (k_1,\ldots,k_{d+1})\)-GAP monocromatico, ma non so se è questa la strada.
Non penso in realtà, dove prendo \(kr=k_{d+1} \)
\[ \{ a + u_1j_1 + \ldots + u_dj_d : \text{ per ogni } 1 \leq i \leq d \text{ abbiamo } 0\leq j_i \leq k_i-1 \} \]
dove \( a,u_1,\ldots,u_d \in \mathbb{N} \).
Dimostra che per ogni \( d, k_1,\ldots, k_d \) e per ogni colorazione finita di \( \mathbb{N} \) allora esiste un \((k_1,\ldots,k_d)\) GAP monocromatica.
Hint: usa il fatto che per ogni insieme piecewise syndetic \(A\subset \mathbb{N} \) esistono \(d \in \mathbb{N} \) e un insieme \(B \subseteq \mathbb{N} \) piecewise syndetic tale che per ogni \(b \in B \) abbiamo che
\( \{ b+r, b+2r,\ldots, b+kr \} \subseteq A \)
Io ho pensato di fare per induzione su \(d\), sappiamo che se \(d=1 \) è vero per il teorema di Waerden. Supponiamo che sia vero per \(d \geq 1 \) allora in qualche modo voglio prendere \( \mathbb{N} \) che è piecewise syndetic, so che esiste un sottoinsieme monocromatico di \(A\) poiché la famiglia di insiemi piecewise syndetic è partition regular. Quindi Prendo \(A\) e ora so che esiste un intero \( r \) e un insieme piecwise syndetic \(B \subset \mathbb{N} \) tale che per ogni \(b \in B \) abbiamo
\[ \{ b + r , b+2r,\ldots, b+kr \} \subset A \]
ora se il mio \( (k_1,\ldots,k_d)\)-GAP è contenuto in \(B\) e anche in \(A\) ho finito poiché ho trovato allora un \( (k_1,\ldots,k_{d+1})\)-GAP monocromatico, ma non so se è questa la strada.
Non penso in realtà, dove prendo \(kr=k_{d+1} \)
Risposte
Okay penso l'idea di base è giusta.
Abbiamo che in \( \mathbb{N} \) esiste un insieme \(A\) monocromatico e piecewise syndetic tale che esiste \(u_1 \) e esiste \(B_1 \) piecewise syndetic tale che per ogni \(b \in B_1 \) abbiamo che
\[ \{ b+u_1, b+2u_1,\ldots,b+k_1u_1\} \subset A \]
ora applicando lo stesso hint a \(B_1\) che è piecewise syndetic abbiamo che esiste \(u_2\) e \(B_2 \) piecewise syndetic tale che per ogni \(b \in B_2 \)
\[ \{ b+u_2 , b+2u_2 , \ldots, b+k_2u_2 \} \subset B_1 \]
quindi in particolare abbiamo che
\[ \{ b + j_1 u_1 + j_2 u_2 : 1 \leq j_r \leq k_r , r=1,2 \} \subset A \]
applicando lo stesso argomento a \(B_2 \) e procedendo ricorsivamente otteniamo il risultato.
Abbiamo che in \( \mathbb{N} \) esiste un insieme \(A\) monocromatico e piecewise syndetic tale che esiste \(u_1 \) e esiste \(B_1 \) piecewise syndetic tale che per ogni \(b \in B_1 \) abbiamo che
\[ \{ b+u_1, b+2u_1,\ldots,b+k_1u_1\} \subset A \]
ora applicando lo stesso hint a \(B_1\) che è piecewise syndetic abbiamo che esiste \(u_2\) e \(B_2 \) piecewise syndetic tale che per ogni \(b \in B_2 \)
\[ \{ b+u_2 , b+2u_2 , \ldots, b+k_2u_2 \} \subset B_1 \]
quindi in particolare abbiamo che
\[ \{ b + j_1 u_1 + j_2 u_2 : 1 \leq j_r \leq k_r , r=1,2 \} \subset A \]
applicando lo stesso argomento a \(B_2 \) e procedendo ricorsivamente otteniamo il risultato.
E alla fine fisso un \(b \in B_{d+1} \) e definisco \( a:= b+u_1 + \ldots + u_d \) così risulta che
\[ \{ a + j_1 u_1 + \ldots + j_d u_d : \text{ dove } 0 \leq j_r \leq k_r - 1 \text{ per ogni } r=1,\ldots,d \} \subset A \]
\[ \{ a + j_1 u_1 + \ldots + j_d u_d : \text{ dove } 0 \leq j_r \leq k_r - 1 \text{ per ogni } r=1,\ldots,d \} \subset A \]
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo