\(G / H \) ciclico, \( H \subseteq Z(G) \implies G\) ciclico

[Gi81]

Salve a tutti. C'è un passagio in una dimostrazione di un teorema in cui ho dei dubbi.
Abbiamo $G$ gruppo finito di ordine $p^k$ ($p$ numero primo).
Si è dimostrato che esiste $H$ sottogruppo di $G$ che ha ordine $p$ e che è contenuto nel centro di $G$.
Poi si dimostra che \(G/H\) è ciclico. FIn qui tutto ok.
Ma a questo punto si dice: "dunque $G$ è ciclico".

Non riesco a capire perché.
Ho fatto qualche tentativo, senza concludere alcunché.
Se \(G/H\) è ciclico, allora \(G/H = \) per qualche $g in G \\H$.
Dato che l'ordine di \(|G/H|\) è $ |G|/|H|= p^{k-1}$, si ha che $g^{p^(k-1)}H = (gH)^(p^(k-1)) =H$, cioè $g^(p^(k-1)) in H$.
Se $g^(p^(k-1))$ non è l'unità, allora $g$ è generatore di $G$.
Ma se $g^(p^(k-1)) $ è l'unità, non posso concludere nulla. Come fare?

Grazie mille a tutti

[Gi81]

Mi sono accorto che ho dimenticato un'informazione.
Si è anche dimostrato che $H$ è l'unico sottogruppo normale non banale di ordine $p$.

[Studente Anonimo]

Se $g^{p^{k-1}} = 1$ allora $G \cong H \times \langle g \rangle$ ha più di un sottogruppo normale di ordine $p$.

[Gi81]

Ecco il tassello mancante. Grazie mille Martino Gentilissimo come sempre.

Ho provato a risolverlo seguendo un'altra strada, e dovrei esserci riuscito.
Si sfruttano i seguenti risultati:
1) $H$ sottogruppo normale di $G$ tale che $H sube Z(G)$ e \( G/H\) ciclico $=>$ \( G/Z(G) \) ciclico

\( G/Z(G) \) è sottogruppo di \( G/H\), e i sottogruppi dei gruppi ciclici sono ciclici.

2) \(G / Z(G) \) ciclico $=>$ \( G\) abeliano;

Sia $g in G$ tale che \(G / Z = < g Z >\). Siano $a,b in G$. Voglio dimostrare che $ab=ba$.
Si ha $a Z = g^i Z $ e $bZ= g^j Z$ per opportuni $i,j in NN$.
Dunque $a = g^i z_1$ e $b= g^j z_2$ con $z_1,z_2 in Z$.
Allora, ricordando che gli elementi di $Z(G)$ commutano con gli elementi di $G$,
$ab= g^i z_1 g^j z_2 = g^i g^j z_1 z_2 = g^(i+j) z_1 z_2$ e
$ba = g^j z_2 g^i z_1 = g^j g^i z_2 z_1 = g^(i+j) z_2 z_1 = g^(i+j) z_1 z_2$,
cioè $a=b$, come volevamo.

3) un $p$-gruppo abeliano $G$ che possiede un unico sottogruppo $H$ di ordine $p$ è ciclico.

$|G|=p^n$. Sia $a in G$ che abbia massimo ordine, diciamo $||=p^k$ con $k<=n$.
Dunque per ogni $g in G$ si ha $g^(p^k)= 1$. Vogliamo dimostrare che $k=n$.
Per assurdo, sia $$ sottogruppo proprio di $G$ (certamente $H$ è contenuto in $$).
Allora esiste $x in G$ tale che $x notin $ ma $x^p in $. Dunque $x^p = a^l$.
Se $k=1$ allora $x^p =1 $, dunque $x in H sube $, contraddizione.
Se $k>=2$, allora $1= x^(p^k)=(x^p)^(p^(k-1)) = a^(l*p^(k-1))$, da cui $p | l$, cioè $l= p m$.
Pertanto $x^p= a^(p m) => 1 = (x^-1 a^m)^p$, cioè $x^(-1) a^m in H sube $, da cui $x^(-1) in => x in $, contraddizione.