Funzioni suriettive, iniettive e inverse
Ragazzi sapete spiegarmi come capire se una funzione è iniettiva, suriettiva e invertibile?
Per esempio F(x)=2-x Z->Z
Non capisco come fare.. 2-x è l'insieme di partenza giusto?
Per esempio F(x)=2-x Z->Z
Non capisco come fare.. 2-x è l'insieme di partenza giusto?
Risposte
"Licia9":
Ragazzi sapete spiegarmi come capire se una funzione è iniettiva, suriettiva e invertibile?
Per esempio F(x)=2-x Z->Z
Non capisco come fare.. 2-x è l'insieme di partenza giusto?
Non è difficile.
Basta sapere la teoria.
Scrivi qui la definizione di funzione iniettiva, suriettiva.
La so la teoria ma non riesco ad applicarla a quella funzione!
La funzione è suriettiva se ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio.. che sarebbe l'insieme di partenza
mentre è iniettiva se ad ogni elemento del dominio corrisponde al più un solo elemento del codominio
Pero con la funzione 2-x non so da dove partire
La funzione è suriettiva se ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio.. che sarebbe l'insieme di partenza
mentre è iniettiva se ad ogni elemento del dominio corrisponde al più un solo elemento del codominio
Pero con la funzione 2-x non so da dove partire
"Licia9":
La so la teoria ma non riesco ad applicarla a quella funzione!
La funzione è suriettiva se ogni elemento del codominio è immagine di almeno un elemento del dominio.. che sarebbe l'insieme di partenza
mentre è iniettiva se ad ogni elemento del dominio corrisponde al più un solo elemento del codominio
Pero con la funzione 2-x non so da dove partire
Ben, è un buon punto di partenza.
Per ora concentriamoci sulle funzioni iniettive.
f è iniettiva se ad ogni elemento del dominio corrisponde un solo elemento del codominio cioè, se x,y stanno nel dominio e $f(x)=f(y)$ allora deve essere $x=y$.
Veniamo al tuo esercizio.
Ora tu hai $f:ZZ rarr ZZ$ definita come $f(x)=2-x$.
Quindi il dominio è $ZZ$.
Prendiamo quindi x,y in $ZZ$ e sia $f(x)=f(y)$ cioè $2-x=2-y$.
Allora $-x=-y$ e quindi $x=y$. Perciò la tua funzione è iniettiva.
Ora vediamo se hai capito.
Sia $f:ZZ rarr ZZ$ definita come $f(x)=3x$. Questa è iniettiva?
Sia invece $g:ZZ rarr ZZ$ definita come $f(x)=x^2$. Questa è iniettiva?
Grazie!
ok quindi devo fare così
f(x)=3x
quindi f(x) deve essere uguale a f(y) (ma perchè devo prendere una funzione f(y) ? )
3x=-3y non è iniettiva perchè x=-y
mentre l'altra.. f(x)=x^2
x^2=-y^2 anche questa non è iniettiva
Corretto?
ok quindi devo fare così
f(x)=3x
quindi f(x) deve essere uguale a f(y) (ma perchè devo prendere una funzione f(y) ? )
3x=-3y non è iniettiva perchè x=-y
mentre l'altra.. f(x)=x^2
x^2=-y^2 anche questa non è iniettiva
Corretto?
"Licia9":
Grazie!
ok quindi devo fare così
f(x)=3x
quindi f(x) deve essere uguale a f(y) (ma perchè devo prendere una funzione f(y) ? )
3x=-3y non è iniettiva perchè x=-y
mentre l'altra.. f(x)=x^2
x^2=-y^2 anche questa non è iniettiva
Corretto?
Assolutamente no!
Allora: tu hai una funzione f (non è che prendi un'altra funzione f(y)).
La funzione è una sola ed è f ed è data dall'esercizio.
Se scrivo f(x) vuol dire che valuto la funzione nel punto x, se scrivo f(y) la valuto nel punto y, se scrivo f(3) la valuto nel punto 3 e così via.
Si ha che:
f è iniettiva se quando $f(x)=f(y)$ (qualunque siano i punti x e y) allora $x=y$.
Nel tuo caso $f(x)=2-x$, $f(y)=2-y$.
Vado a vedere se quando impongo $f(x)=f(y)$ viene che deve essere x=y.
Perciò:
$2-x=2-y$
da cui $-x=-y$ da cui $x=y$.
Perciò la tua funzione è iniettiva.
Prova ora a fare gli esempi che ti ho dato
Forse ho capito
Quindi se metto 3x=3y ho x=y quindi è iniettiva
mentre se metto x^2=y^2 se x e y sono uguali è iniettiva no?
Quindi se metto 3x=3y ho x=y quindi è iniettiva
mentre se metto x^2=y^2 se x e y sono uguali è iniettiva no?
"Licia9":
Forse ho capito
Quindi se metto 3x=3y ho x=y quindi è iniettiva
mentre se metto x^2=y^2 se x e y sono uguali è iniettiva no?
Per il primo siamo d'accordo.
Per il secondo hai $x^2=y^2$ e devi dire se ciò avviene solo se $x=y$ (e in tal caso è iniettiva), oppure se può succedere anche in altri casi (e allora non è inietttiva).
Prova a pensarci: cosa mi rispondi?
anche se x^2=-y^2 perchè il quadrato di un numero negativo è positivo.. quindi non è iniettiva vero?
"Licia9":
anche se x^2=-y^2 perchè il quadrato di un numero negativo è positivo.. quindi non è iniettiva vero?
Anche se $x=-y$ così $x^2=(-y)^2=y^2$ e quindi non è iniettiva. Esatto
Ora invece una funzione è suriettiva se ogni elemento dello spazio di arrivo ha una controimmagine.
Nel tuo caso la funzione è de4finita da $ZZ$ a $ZZ$ e quindi devi verificare che $\forall y\inZZ$ esiste $x\inZZ$ tale che $f(x)=y$.
Per fare ciò scrivi cos'è f(x);
imponi $f(x)=y$
risolvi trovando x in funzione di y
e se x che hai trovato sta in $ZZ$ allora è suriettiva, altrimenti no
Dunque..
f(x)=2-x
2-x=y
-x=y-2
x=-y+2 é suriettiva allora!!
Giusto?
f(x)=2-x
2-x=y
-x=y-2
x=-y+2 é suriettiva allora!!
Giusto?
Esatto! 
Prova ora a dire se sono suriettive
$f(x)=3x$
e
$g(x)=x^2$
sempre da $ZZ$ a $ZZ$
Prova ora a dire se sono suriettive
$f(x)=3x$
e
$g(x)=x^2$
sempre da $ZZ$ a $ZZ$
f(x)=3x
3x=y
x=y/3 non è suriettiva in Z
f(x)=x^2
x^2=y la lascio così? si è suriettiva.. in Z cè x^2
3x=y
x=y/3 non è suriettiva in Z
f(x)=x^2
x^2=y la lascio così? si è suriettiva.. in Z cè x^2
$f(x)=x^2$. Mi determini la controimmagine di $-1$ allora?
Controlla meglio se è suriettiva.
Controlla meglio se è suriettiva.
"Licia9":
f(x)=3x
3x=y
x=y/3 non è suriettiva in Z
f(x)=x^2
x^2=y la lascio così? si è suriettiva.. in Z cè x^2
Per il primo bene perchè non è detto che $y/3$ sia in $ZZ$.
Per il secondo hai $x^2=y$ e quindi non lasci certo così!!
Non abbiamo forse detto che dobbiamo esplicitare x in funzione di y e vedere se sta in $ZZ$!?
Quindi in questo caso hai $x^2=y$ e perciò $x=.....$ e quindi concludi che .....
Che stupida!
x^2 non è suriettiva in quanto se esplicito la x rispetto la y ottengo due radici! radice di y e -radice di y
E queste non sono nel dominio della funzione
x^2 non è suriettiva in quanto se esplicito la x rispetto la y ottengo due radici! radice di y e -radice di y
E queste non sono nel dominio della funzione
"Licia9":
Che stupida!
x^2 non è suriettiva in quanto se esplicito la x rispetto la y ottengo due radici! radice di y e -radice di y
E queste non sono nel dominio della funzione
Molto bene.
Adesso ci siamo.
Hai capito quando una funzione è iniettiva e quando è suriettiva.
Infine una funzione è invertibile (però sul suo codominio) se è iniettiva.
Grazie mille per l'aiuto
Per costruire la funzione inversa devo fare così?
F(x)=2-x
y=2-x
esplicito x in funzione di y
x=2-y
Poi? Se inverto la x con la y ottengo la funzione di partenza
Per costruire la funzione inversa devo fare così?
F(x)=2-x
y=2-x
esplicito x in funzione di y
x=2-y
Poi? Se inverto la x con la y ottengo la funzione di partenza
"Licia9":
Grazie mille per l'aiuto
Per costruire la funzione inversa devo fare così?
F(x)=2-x
y=2-x
esplicito x in funzione di y
x=2-y
Poi? Se inverto la x con la y ottengo la funzione di partenza
Giusto.
E infatti l'inversa della tua funzione è proprio essa stessa
Ma una funzione per essere invertibile non deve essere biunivoca?
"Licia9":Sì, lo deve essere.
Ma una funzione per essere invertibile non deve essere biunivoca?
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