Funzioni su N
Salve a tutti. Ho un problema per quanto riguarda le funzioni su N. Sul libro non ci sono esempi e gli esercizi sono piuttosto complicati.
Corregetemi dove sbaglio, ho ragionato così:
y= f(x) quindi se l' esercizio è questo : F(x)=x+1,se x=0 o x=5; x ,altrimenti.
Ho cercato su N varie y, esempio x=0 Y=1 oppure x=1 y=1 oppure x=5 y=6. Così ho trovato delle coppie che mi permettono di verificare se la funzione è iniettiva , suriettiva. Ora mi chiedo è necessario data l' infinità di N trovare le soluzioni oppure come devo fare per dimostrare velocemente le proprietà?.
Altro problema F^2(x,y)= x, se y<10;x+y, altrimenti.
Panicooo, non posso procedere come prima dato che nella proprietà figura anche la y e non posso dare valori qualsiasi in N.
Come si fa?. Grazie.
Corregetemi dove sbaglio, ho ragionato così:
y= f(x) quindi se l' esercizio è questo : F(x)=x+1,se x=0 o x=5; x ,altrimenti.
Ho cercato su N varie y, esempio x=0 Y=1 oppure x=1 y=1 oppure x=5 y=6. Così ho trovato delle coppie che mi permettono di verificare se la funzione è iniettiva , suriettiva. Ora mi chiedo è necessario data l' infinità di N trovare le soluzioni oppure come devo fare per dimostrare velocemente le proprietà?.
Altro problema F^2(x,y)= x, se y<10;x+y, altrimenti.
Panicooo, non posso procedere come prima dato che nella proprietà figura anche la y e non posso dare valori qualsiasi in N.
Come si fa?. Grazie.
Risposte
Data l'applicazione
$f:NN to NN, x mapsto {(x+1, text{se} \ x=0 vvv x=5),(x, text{altrimenti}):}$
si vuole verificare se essa è iniettiva e/o suriettiva.
L'applicazione non è iniettiva, poichè $f(0)=f(1)=1$ e $f(5)=f(6)=6$.
L'applicazione non è nemmeno suriettiva, difatti $stackrel[leftarrow][f](0)=\emptyset$ e $stackrel[leftarrow][f](5)=\emptyset$: questo era facilmente comprensibile perché la restrizione di $f$ a $NN \\ {0,5}$ è l'identità, quindi dall'immagine di $f$ restano fuori proprio $0$ e $5$, e per $x=0 vvv x=5$ non si ottengono $0$ e $5$.
La seconda perché c'è scritto $f^2(x,y)$? Significa qualche cosa di particolare quella potenza?
P.S.
Usa MathML.
$f:NN to NN, x mapsto {(x+1, text{se} \ x=0 vvv x=5),(x, text{altrimenti}):}$
si vuole verificare se essa è iniettiva e/o suriettiva.
L'applicazione non è iniettiva, poichè $f(0)=f(1)=1$ e $f(5)=f(6)=6$.
L'applicazione non è nemmeno suriettiva, difatti $stackrel[leftarrow][f](0)=\emptyset$ e $stackrel[leftarrow][f](5)=\emptyset$: questo era facilmente comprensibile perché la restrizione di $f$ a $NN \\ {0,5}$ è l'identità, quindi dall'immagine di $f$ restano fuori proprio $0$ e $5$, e per $x=0 vvv x=5$ non si ottengono $0$ e $5$.
La seconda perché c'è scritto $f^2(x,y)$? Significa qualche cosa di particolare quella potenza?
P.S.
Usa MathML.
Nel mio libro di logica dice che una relazione può essere presentata in modo relazionale per esempio posso dire f^2(x,y)sse y è il successore di x ed è la stessa cosa di dire in modo operativo F(x)= il successore di y
Ad ogni modo, se quel quadrato non significa nulla, nel senso che posso anche non scriverlo, allora, data l'applicazione
$f:NNtimesNN to NN, (x,y) mapsto {(x, text{se} \ y<10),(x+y, text{altrimenti}):}$
questa non è iniettiva, difatti, per esempio, con $(3,2)!=(3,3)$ risulta $f(3,2)=f(3,3)=3$.
L'applicazione è però suriettiva, difatti dato un qualsivoglia naturale $n$, basta scegliere la coppia ordinata che abbia come seconda coordinata $y<10$ e come prima coordinata il naturale precedentemente assegnato per trovare (almeno) un elemento di $\stackrel[leftarrow][f](n)$, quindi $forall n in NN, stackrel[leftarrow][f](n)!=emptyset$.
$f:NNtimesNN to NN, (x,y) mapsto {(x, text{se} \ y<10),(x+y, text{altrimenti}):}$
questa non è iniettiva, difatti, per esempio, con $(3,2)!=(3,3)$ risulta $f(3,2)=f(3,3)=3$.
L'applicazione è però suriettiva, difatti dato un qualsivoglia naturale $n$, basta scegliere la coppia ordinata che abbia come seconda coordinata $y<10$ e come prima coordinata il naturale precedentemente assegnato per trovare (almeno) un elemento di $\stackrel[leftarrow][f](n)$, quindi $forall n in NN, stackrel[leftarrow][f](n)!=emptyset$.
"lilly79":
Nel mio libro di logica dice che una relazione può essere presentata in modo relazionale per esempio posso dire f^2(x,y)sse y è il successore di x ed è la stessa cosa di dire in modo operativo F(x)= il successore di y
Beh, mi spiace ma questa è roba che non comprendo
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